【１】数の三角数分割

　数の三角数分割（ガウス，１７９６年）

　　ｎ＝△＋△＋△，△＝ｋ（ｋ＋１）／２

すなわち「すべての整数は３つの三角数の和によって表し得る」

　　７＝３＋３＋１＝６＋１＋０

　　８＝６＋１＋１

　　９＝３＋３＋３＝６＋３＋０

　１０＝６＋３＋１

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ガウスの発見は８ｎ+３型整数を3つの奇数の平方の和として表すことを意味している。

まず、奇数の平方が三角数の8倍+1であること

(2k+1)^2=4k^2+4k+1=8Δk＋１

もし、ｎ=Δk1+Δk2+Δk3なら、Σ(2km+1)^2=8n+3

の解を得る。

35＝4・8+3＝1+9+25。

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五角数はk+3Δk-1あるいはk^2+Δk-1

六角数はk+4Δk-1あるいはΔk+3Δk-1

一般にｐ角数はｋ+（ｐ-2）Δk-1で

どの六角数も三角数である

どの五角数も三角数の1/3である。

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【２】数の平方数分割

「すべての正の整数は高々４個の整数の平方和で表される」というのが，ラグランジュの定理です．

驚くべきことに，７のみならず，任意の自然数がたった４つの平方数の和の形に表せるのです．

　　７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2

　　２＝１^2＋１^2＋０^2＋０^2

このことを，シンボリックに書くと

　　ｎ＝□＋□＋□＋□

となります．□は平方数の意味です．

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ｒ^2=0,1,4 (mod8)

より、

x^2+y^2+z^2=n≠4^k(8m+7)

平均してすべての整数の1/8+1/4/8+1/16/8+・・・=1/6

は3つの平方数の和で表すことができない。

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