［Ｑ］ｘ^4−（３ｍ＋２）ｘ^2＋ｍ^2＝０の４根が等差数列をなすとき，ｍの値は？

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　四項等差数列：ａ−３ｄ，ａ−ｄ，ａ＋ｄ，ａ＋３ｄ

　　（ａ^2−ｄ^2）（ａ^2−９ｄ^2）

もとの方程式は

　　（ｘ^2−ｂ^2）（ｘ^2−９ｂ^2）

の形に書ける．

　　１０ｂ^2＝３ｍ＋２

　　９ｂ^4＝ｍ^2

ｂを消去すると

　　１９ｍ^2−１０８ｍ−３６＝０→ｍ＝６，−６／１９

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［Ｑ］整数四項等差数列：ａ−３ｄ，ａ−ｄ，ａ＋ｄ，ａ＋３ｄの４項の積が平方数となるとき，ａ、ｄの値は？

α＋β＋γ＋δ=4a

αβ＋αγ＋αδ＋βγ＋βδ＋γδ= 4a^2-10d^2

αβγ＋αβδ＋αγδ＋βγδ=4a^3-20ad^2

αβγδ=(ａ^2−ｄ^2）（ａ^2−９ｄ^2）＝N^2・・・これが成り立つためにはa=0,d=1であることがいえれば

ｘ^4-10x^2＋9＝０の４根

(x^2-1)(x^2-9)=0

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　四項等差数列：ａ−３ｄ，ａ−ｄ，ａ＋ｄ，ａ＋３ｄ,a,dは整数

　　（ａ^2−ｄ^2）（ａ^2−９ｄ^2）

もとの方程式は

　　（ｘ^2−ｂ^2）（ｘ^2−９ｂ^2）

の形に書ける．

　　９ｂ^4＝ｍ^2

　　ｍ＝３ｂ^2

　　ｘ^4-10/3ｍｘ^2＋ｍ^2＝０→3ｘ^4-10ｍｘ^2＋3ｍ^2＝(x^2-3m)(3x^2-m)＝０

a+3d=(3m)^1/2

a-3d=(3m)^1/2

a+d=(m/3)^1/2

a-d=(m/m)^1/2

d=(m/3)^1/2,a=0・・・一意に決まらないが・・・

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０でない４つの異なる整数が等差数列をなすとき、その４つの積が平方数となるのは-3,-,1-,3のときだけである

オイラー（証明はルベーグ）、1863

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