１１＝１＋２・５

　　１９＝９＋２・５

　　２７＝１＋２・１３

　　３５＝１＋２・１７＝９＋２・１３＝２８＋２・５

　　４３＝９＋２・１７

　　５１＝２５＋２・１３

　　５９＝１＋２・２９＝２５＋２・１７＝４９＋２・５

　いずれも

［０］８ｎ＋３型整数は平方数と素数の２倍の和で表される．

　本当だろうか？　実は［０］が真であれば［２］が従う．

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［１］オイラーの定理

　４ｎ＋１型の素数は２つの平方数の和で表される．

　ｐ＝□＋□

［２］ガウスの定理

　任意の整数は３つの三角数の和で表される．

　ｎ＝△＋△＋△＝ｘ（ｘ−１）／２＋ｙ（ｙ−１）／２＋ｚ（ｚ−１）／２

［３］ルジャンドルの定理

　８ｎ＋７でない整数は３つの平方数の和□＋□＋□で表される．

［４］ラグランジュの定理

　任意の整数は４つの平方数の和で表される．

　ｎ＝□＋□＋□＋□

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［証］８ｎ＋３＝ｗ^2＋２ｐ→ｗは奇数である．

→ｗは８ｎ＋１型，ｐは４ｎ＋１型

→［１］よりｐ＝□＋□＝ｕ^2＋ｖ^2，ｕ，ｖの一方は奇数，他方は偶数

→２ｐ＝２（ｕ^2＋ｖ^2）＝（ｕ＋ｖ）^2＋（ｕ−ｖ）^2

ｗ，ｕ＋ｖ，ｕ−ｖは奇数である．

→ｗ＝２ｘ−１，ｕ＋ｖ＝２ｙ−１，ｕ−ｖ＝２ｚ−１

→８ｎ＋３＝（２ｘ−１）^2＋（２ｙ−１）^2＋（２ｚ−１）^2←［３］

＝［２］

→ｎ＝△＋△＋△＝ｘ（ｘ−１）／２＋ｙ（ｙ−１）／２＋ｚ（ｚ−１）／２

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