フェルマーの小定理より，ｐが奇素数のとき２^p-1−１はｐで割り切れる．

　　ｐ＝３：２^2−１＝３　（３で割り切れる）

　　ｐ＝５：２^4−１＝３　（５で割り切れる）

　　ｐ＝７：２^6−１＝６３　（７で割り切れる）

　　ｐ＝１１：２^10−１＝１０２７　（１１で割り切れる）

　ｎが偶数のとき，２^n-1−１は奇数なので，ｎの倍数ではない．

　ｎが奇数の合成数のとき，

　　ｎ＝９：２^8−１＝２５５　（９で割り切れない）

　　ｎ＝１５：２^14−１＝１６３８３　（１５で割り切れない）

　　ｎ＝２１：２^20−１＝１０４８５７５　（２１で割り切れない）

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　フェルマーの小定理の逆は正しくない．

　　ｎ＝３４１＝１１・３１：２^340−１は３４１で割り切れる．

　このような擬素数は無限にある．

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　つぎに，素数ｐに対して，２^p−１が素数（メルセンヌ素数）になる場合を検索してみる．

　　２^2−１＝３（素数）

　　２^3−１＝７（素数）

　　２^5−１＝３１（素数）

　　２^7−１＝１２７（素数）

　　２^11−１＝２３・８９

　　２^13−１＝８１９１（素数）

　　２^17−１＝１３１０７１（素数）

　　２^19−１＝２５４２８７（素数）

　　２^23−１＝４７・１７８４８１

　　２^29−１＝２３３・１１０３・２０８９

　　２^31−１＝２１４７４８３６４７（素数，オイラー）

　　２^67−１＝１９３７０７７２１・７６１８３８２５７２８７（コール）

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