［１］シングマスターは，１より大きいすべての数はパスカルの三角形に高々

　　２＋２ｌｏｇ2ｎ

解出現することを証明しました．

　　６＝6Ｃ1＝6Ｃ5＝4Ｃ2

　　１５＝6Ｃ2＝6Ｃ4＝15Ｃ1＝15Ｃ14

［２］また，シングマスターは，２^48までの数のなかで，すべての数は高々８回しか出現しないことを観察しました．

　　２＋２ｌｏｇ2２^48＝９８

ですから，

　　２＋２ｌｏｇ2ｎ

は引き下げられるべき上限なのでしょう．

　その８回出現する数が３００３なのです．

　　３００３＝14Ｃ6＝14Ｃ8＝15Ｃ5＝15Ｃ10＝78Ｃ2＝78Ｃ76＝3003Ｃ1＝3003Ｃ3002

　78Ｃ2は３００３が三角数であることを示しています．

　　３００３＝７７・７８／２

［３］さらに，シングマスターは，パスカルの三角形に６回出現する数は無限個あることを証明しました．

　少なくとも６箇所に現れる例としては

　　１２０＝120Ｃ1＝120Ｃ119＝16Ｃ2＝16Ｃ14＝10Ｃ3＝10Ｃ7

　　１５４０＝1540Ｃ1＝1540Ｃ1539＝56Ｃ2＝56Ｃ54＝22Ｃ3＝22Ｃ19

など，無限にあることを証明しました．

　たとえば，フィボナッチ数を使って，

　　Ｎ＝（Ｆ2i+2Ｆ2i+3，Ｆ2iＦ2i+3）

とすると

　　（Ｎ，１）＝（Ｎ，Ｎ−１）＝（Ｆ2i+2Ｆ2i+3，Ｆ2iＦ2i+3）

＝（Ｆ2i+2Ｆ2i+3−１，Ｆ2iＦ2i+3＋１）

＝（Ｆ2i+2Ｆ2i+3，Ｆ2i+1Ｆ2i+3）

＝（Ｆ2i+2Ｆ2i+3−１，Ｆ2i+1Ｆ2i+3−２）

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　ルービック・キューブを解くためのアルゴリズムで有名なシングマスターは，さらに，パスカルの三角形に現れる回数の上限は１０か１２だろうと予想しましたが，８回よりも多い数は１例も見つかっていません．

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