【１】フィボナッチ数の二項係数表現

パスカルの三角形では先頭と最後が常に１となり，その間の数値は前の行の連続した数値を加えていくことに得られるのに対して，フィボナッチ数は前２項の和と等しい．そのため，パスカルの三角形になだらかな斜線を引いて，斜線上に並ぶ数の和をとればフィボナッチ数Ｆnが順番に現れる．

　　１＋１＝２，１＋２＝３，１＋３＋１＝５，１＋４＋３＝８，１＋５＋６＋１＝１３，・・・

すなわち，Ｆn＝Σ(k=0~[n/2])（ｎ−ｋ，ｋ）

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【２】ダビデの星定理

端の１を除いて，パスカルの三角形に含まれる数は６個の数で囲まれている．たとえば，６段目の１０の回りには４，６，１０，２０，１５，５が取り囲んでいる．

　　４　　６

５　　１０　　１０

　１５　　２０

６個のうち隣接しない３数の積はもう１組の隣接しない３数の積に等しい．この性質には「ダビデの星定理」という名前がついている．

　　４・１０・１５＝６・２０・５＝６００

ダビデの星は２つの正三角形を逆向きに重ねたもので，イスラエルの国旗に採用されている．片方の三角形は５，６，２０，もう一方の三角形は４，１０，１５を指していて，それらの積は等しい．一般に，

　　n-1Cr-1・nCr+1・n+1Cr=n-1Cr・n+1Cr+1・nCr-1

が成り立つのである．

したがって，パスカルの三角形で，ひとつの数を取り囲む６つの数の積は平方数になる．

　　n-1Cr-1・nCr+1・n+1Cr=n-1Cr・n+1Cr+1・nCr-1＝Ｎ^2

　たとえば，

3C1を取り囲む６つの数の積は１・２・３・６・４・１＝１４４．

4C1を取り囲む６つの数の積は３・１・１・５・１０・６＝９００．

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