級数

　　１／３＋１／１５＋１／３５＋・・・＋１／（４ｎ^2−１）＋・・・＝１／２

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　　１／（４ｎ^2−１）＝１／２｛１／（２ｎ−１）−１／（２ｎ＋１）｝

より

　　１／３＋１／１５＋１／３５＋・・・＋１／（４ｎ^2−１）＝ｎ／（２ｎ＋１）

であるから，ｎ→∞のとき，１／２に収束することがわかる．

　ｎ＝０，すなわち，第０項から始まるものとして

　　−１＋１／３＋１／１５＋１／３５＋・・・＋１／（４ｎ^2−１）＋・・・＝？

　　ｘ^n／（４ｎ^2−１）！＋ｘ^n+1／（４（ｎ＋１）^2−１）＋・・・

　この級数の項比は

　　ａn+1ｘ^n+1/ａnｘ^n=(n+1)(2n-1)/(2n+3)*x/(n+1)

であるから，ａ0*2Ｆ1(1,-1/2；3/2;1)，また，ａ0=-1より

　　-2Ｆ1(1,-1/2；3/2;1)

　鈴鹿高専・電子情報工学科の奥井重彦先生より頂戴した

　　「超幾何関数の公式集(Tables of Hypergeometric Functions)」

によると

　　2Ｆ1(1,-1/2;3/2:x^2)=1/2{1+1/x･(1-x^2)arctanh(x)}

　　-2Ｆ1(1,-1/2;3/2:1)=-1/2

　　１／３＋１／１５＋１／３５＋・・・＝１／２

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