【２】オイラーとフェルマー素数

　フェルマーは２^(2^n)＋１型の数がすべて素数だと勘違いしていて必ず素数を与える式として考え出されたのですが，ｎ＝５であっけなく破綻してしまいました．

　　Ｆ5＝２^(2^5)＋１＝４２９４９６７２９７＝６４１×６７００４１７

　　　 ＝（５・２^7＋１）（５２３４７・２^7＋１）

と分解されＦ5が素数でないことが証明されます（１７３２年）．

　この間違いを発見したのはフェルマーから約１００年後のオイラーです．彼は約数６４１をたまたまあてずっぽうでみつけたのでも，２，３，５，７，・・・と割っていって執念で見つけたのでもありません．オイラーはＦnが合成数であるならば，それはあるｋに対してｋ・２^(n+2)＋１であることを知っていて，Ｆ5の中の因数６４１＝５・２^7＋１を見つけたのです（１７３２年）．

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　ベネットは，実際に割り算することなしにこのことを確認しています．すなわち，

　　６４１＝５^4＋２^4＝５・２^7＋１

　　２^28（５^4＋２^4）／６４１＝２^28　（余り０）

　　（（５・２^7）^4−１）／６４１＝（５・２^7−１）（（５・２^7）^2＋１）　（余り０）

したがって，２^28（５^4＋２^4）−（（５・２^7）^4−１）＝２^32＋１も６４１で割り切れる．

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