（その１４）の数値実験をさらに進めてみる．３つの平方数の和として書くことができない数としては

　　７，１５，２３，２８，・・・

がある．

　やはり一見してパターンを見出すことは難しいが，１７９８年に，ルジャンドルは，３つの平方数の和でない数は４^k（８ｎ＋７）型で表されることを発見した．

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［１］ｎ＝４ｋのとき，

　　ｎ^2＝１６ｋ^2→　ｎ＝０　（ｍｏｄ８）

［２］ｎ＝４ｋ＋１のとき，

　　ｎ^2＝１６ｋ^2＋８ｋ＋１→　ｎ＝１　（ｍｏｄ８）

［３］ｎ＝４ｋ＋２のとき，

　　ｎ^2＝１６ｋ^2＋１６ｋ＋４→　ｎ＝４　（ｍｏｄ８）

［４］ｎ＝４ｋ＋３のとき，

　　ｎ^2＝１６ｋ^2＋２４ｋ＋９→　ｎ＝１　（ｍｏｄ８）

　したがって，平方数を８で割ると余りは０，１，４のいずれかになる．→３つの平方数の和を８で割ると余りは０，１，２，３，４，５，６のいずれかになる．→８ｎ＋７型の数を表すには平方数が４つ以上必要になる．

　実は，正の整数はすべて４個の平方数の和で表される（ラグランジュの定理，１７７０年）．

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［おまけ］

　４^k（８ｎ＋７）型の整数は，すべての整数のうちの１／６を占める．

　　１／（１−１／４）・１／８＝１／６

　これらはちょうど４つの平方数の和となり，それ以外は高々３つの平方数の和で表される．

　すべての立方数は９個の立方数の和で表される．負の整数を使っていいなら，立方数はすべて４個の立方数の和で表されると予想されている．

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