有名ではないが，次のようにゼータ関数に帰着する無限級数が知られている．

　　Σ1/(2n,n)={2π√3+9}/27

　　Σ1/n(2n,n)=π√3/9

　　3Σ1/n^2(2n,n)=ζ（2）

　　12Σ(2-√3)^n/n^2(2n,n)=ζ（2）

　　5/2Σ(-1)^(n-1)/n^3(2n,n)=ζ（3）

　　36/17Σ1/n^4(2n,n)=ζ（4）

　これらは，

　　Σ1/n^k(2n,n)

あるいは

　　Σ(-1)^(n-1)/n^k(2n,n)

と書けるが，もし以上ことからζ（2），ζ（3），ζ（4），・・・がΣ1/n^k(2n,n)あるいはΣ(-1)^(n-1)/n^k(2n,n)の簡単な有理数倍になっていると予想するのは当然の成りゆきであろう．

　ζ（5）＝R*Σ(-1)^(n-1)/n^5(2n,n)

と予想されるが，予想に反して，Ｒはたとえ有理数であったにしても，簡単なものにはならない．

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