71に対しては72=2^3・3^2

97に対しては98=2・7^2

272に対しては273=3・7・13

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約数の数を更新する合成数は、小さいほうから

2(2),4(3),6(4),12(6),24(8),36(9),48(10),60(12),120(16),180(18),240(20),360(24)

720(30),840(32),1260(36),1680(40),2520(48),5040(60),・・・

自分自身を除く約数の積が6乗数になるXX(14)はみつからないのである。

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120は2＾4個の約数を持つ最小の数。一般に２＾n個の約数を持つ最小の数は

次の数列の最初のｎ個を書ければ求まる

2，3，4，5，7，9，11，13，16，17，19，23，25，29、・・・

120＝2・3・4・5

24＝2・3・4

6＝2・3

2＝2

そして

840＝2・3・4・5・7

7560＝2・3・4・5・7・9

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数列

2，3，4，5，7，9，11，13，16，17，19，23，25，29、・・・

はすべての素数とすでにあらわれた素数の平方数とからできている。

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ｎの約数の個数が、ｎより小さくｎと互いに素であるものの個数に等しいものが7つあり、

３はその２番目(3),(2)

8(2,4,8)，(2,3,5)

10(2,5,10)，(3,7,9)

18(2,3,6,9,18)，(5,7,11,13,17)

24(2,3,4,6,8,12,24)，(5,7,11,13,17,19,23)

最大のものは30(2,3,5,6,10,15,30),(7,11,13,17,19,23,9)

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30＝2・3・5で、30未満の数のうち、30と互いに素な数は

7,11,13,17,19,23,29

で、すべて素数となっている。このように自分より小さい数の中の互いに素な数がすべて素数になっている数の中で30は最大である。

すなわち、ｎ以下で、ｎと互いに素な整数がみな素数であるという性質を持つ最大のｎが30である。

2,3,4,6,8,12,18,24,30

3(2)

4(3)

6(5)

8(3,5,7)

12(5,7,11)

18(5,7,11,13,17)

24(5,7,11,13,17,19,23)

30(7,11,13,17,19,23,29)

30を特別なものとしている理由はそれが最初の3つの素数の積だということである。

しかし、最初の4つの素数の積である210では、たとえば143=11x13は210と共通因子を持たないが素数ではない。

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