（問題）

　任意の三角形に対して

　　ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ≦３√３／８

が成り立つ．

（証明）

　　２ｓｉｎβｓｉｎγ＝ｃｏｓ（β−γ）−ｃｏｓ（β＋γ）

　　　　　　　　　　　＝ｃｏｓ（β−γ）＋ｃｏｓα

　　ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ

　＝１／２ｓｉｎα（ｃｏｓ（β−γ）＋ｃｏｓα）

　≦１／２ｓｉｎα（１＋ｃｏｓα）

x=cosα

f(x)=ｓｉｎα（１＋ｃｏｓα）=(1-x^2)^1/2・(1+x)

f'(x)=-x/(1-x^2)^1/2・(1+x)+(1-x^2)^1/2

=1/(1-x^2)^1/2・{-x(1+x)+1-x^2}

=-1/(1-x^2)^1/2・(x+1)(2x-1)

x=1/2のとき、f(x)=3√3/8

　これより極大値を計算すると，３√３／８が得られる．なお，この不等式は三角形の外接円，内接円および面積をＲ，ｒ，△とすれば，

　　ａｂｃ＝４Ｒ△，（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ＝２△

また，正弦法則

　　ａ／ｓｉｎα＝ｂ／ｓｉｎβ＝ｃ／ｓｉｎγ＝２Ｒ

より，

　　ａｂｃ≦３√３Ｒ^3

と同値である．

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（問題）

　　ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ≦（３√３／２π）^3αβγ

　このことから，三角形のブロカールの角ωが，

　　８ω^3＜αβγ

を満たすことが証明できるという．

　なお，三角形の５心とは内心，傍心，重心，外心，垂心を指しますが，古代ギリシャ人は５心について知っていました．その１５００年後，フェルマー点が発見され，さらに１〜２世紀後に９点円の中心，その次がジェルゴンヌ点，１９世紀にはいるとナーゲル点やブロカール点などが発見されました．

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