【１】ユークリッドの素数構成法（素数の積＋１）

　２・３＋１＝７　　（素数）

　２・３・５＋１＝３１　　（素数）

　２・３・５・７＋１＝２１１　　（素数）

　２・３・５・７・１１＋１＝２３１１　　（素数）

　２・３・５・７・１１・１３＋１＝３００３１＝５０・５０９　　（非素数）

　このようにしてユークリッドは素数は無限に存在することを証明した．

　Πｐ＋１型素数としては，

　　ｐ＝２，３，５，７，１１，３１，３７９，１０１９，１０２１，

　　２６５７，３２２９，４５４７４７８７，１１５４９，１３６４９，

　　・・・

　しかし、実際に素数であることが確かめられているものは他にはない．

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【２】ユークリッドの素数構成法（素数の積＋１）

　一般に素数が無限個存在することは背理法を使って証明されますが，「原論」の証明は背理法ではなく，どんどん新たな素数を構成していく方法である．

［１］素数Ｐをとり，Ｐ＋１の最小素因数をＱとする．

［２］ＰＱ＋１の最小素因数をＲとする．

［３］ＰＱＲ＋１の最小素因数をＳとする．

［４］これを続ければ無限個の素数列｛Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ，・・・｝が得られる．

　たとえばＰ＝２とする．Ｑ＝３，Ｒ＝７，Ｓ＝４３．

　　ＰＱＲＳ＋１＝２・３・７・４３＋１＝１８０７＝１３・１３９

　　Ｔ＝１３

　　｛２，３，７，４３，１３，・・・｝

　どんどん新たな素数が構成されるが，すべての素数が構成されるかどうかは未解決です．

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