22=3+3+4+12→1/3+1/3+1/4+1/12=1

22=2+5+5+10→1/2+1/5+1/5+1/10=1

22=2+4+4+8→1/2+1/4+1/4+1/8=1

77=3+4+5+5+60→1/3+1/4+1/5+1/5+1/60=1

整数を分割したものの逆数の和はすべて1となる

96=2+5+7+10+30+42→1/2+1/5+1/7+1/10+1/30+1/42=1

96=6+7+7+8+8+9+12+18+21→1/6+1/7+1/7+1/8+1/8+1/9+1/12+1/18+1/21=1

でも同様であるが、前者では相異なる逆数の和が1となるように表現できる。

77はそのような性質を持つ整数のうちで最大である。

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一般に，有理数を単位分数の和に表現する問題

　　ｍ／ｎ＝１／ｘ1＋１／ｘ2＋・・・＋１／ｘk

は多くの問題を派生させる．とくにおもしろいのは

　　１／ｘ1＋１／ｘ2＋・・・＋１／ｘk＝１，ｘ1＜ｘ2＜・・・＜ｘk

の場合である．

　グラハムはｋ＞７７に対して，異なる整数に分割することが常に可能であることを示した．

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　とくに面白いのは「１」の単位分数分割です．

　　Σ１／ｘk＝１，ｘ1＜ｘ2＜・・・＜ｘn

　ｘnの最小値ｍ（ｎ）がいくらであるかは知られていません．ｍ（３）＝６，ｍ（４）＝１２，ｍ（１２）＝１２０であることを確認するのは難しくはありませんが，ある定数ｃに対してｍ（ｎ）＜ｃｎとなるかどうかも未知なのです．

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