自然数をｎ乗して1の位だけを残してみよう(mod10)

1^1=1→2^1=2→3^1=3→4^1=4→5^1=5→6^1=6→7^1=7→8^1=8→9^1=9

1^2=1→2^2=4→3^2=9→4^2=6→5^2=5→6^2=6→7^2=9→8^2=4→9^2=1・・・周期性・対称性がみられる

1^3=1→2^3=8→3^3=7→4^3=4→5^3=5→6^3=6→7^3=3→8^3=2→9^3=9・・・周期性・対称性がみられる

1^4=1→2^4=6→3^4=1→4^4=6→5^4=5→6^4=6→7^4=1→8^4=6→9^4=1・・・周期性・対称性がみられる

もっと続けてみると

1^5=1→2^5=2→3^5=3→4^5=4→5^5=5→6^5=6→7^5=7→8^5=8→9^5=9・・・1乗と同じ

1^6=1→2^6=4→3^6=9→4^6=6→5^6=5→6^6=6→7^6=7→8^6=4→9^6=1・・・2乗と同じ

1^7=1→2^7=8→3^7=7→4^7=4→5^7=5→6^7=6→7^7=3→8^4=2→9^7=9・・・3乗と同じ

1^8=1→2^8=6→3^8=1→4^8=6→5^8=5→6^8=6→7^8=1→8^8=6→9^8=1・・・4乗と同じ

はじめの４つの行が繰り返されるだけである。

k^(4n+1)=k^1 (mod10)

k^(4n+2)=k^2 (mod10)

k^(4n+3)=k^3 (mod10)

k^(4n+4)=k^4 (mod10)

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［Ｑ］ｎ^5−ｎは１０の倍数である．

　ｎ^5−ｎ＝ｎ（ｎ^4−１）＝ｎ（ｎ^2−１）（ｎ^2＋１）

＝（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）（ｎ^2＋１）

　（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）は３個の連続する整数の積であるから３！＝６で割り切れることはわかるが，（ｎ^2＋１）は

　　２，５，１０，１７，２６，・・・

となって，ｎ^5−ｎが１０の倍数であるかどうかはよくわからない．

　そこで，数学的帰納法を使ってみよう．

Ｐ（１）＝１^5−１＝０・・・１０の倍数である

Ｐ（ｋ）＝ｋ5−ｋが１０の倍数であると仮定する．このとき，

Ｐ（ｋ＋１）＝（ｋ＋１）^5−（ｋ＋１）

＝（ｋ^5−ｋ）＋５ｋ（ｋ＋１）（ｋ^2＋ｋ＋１）

　ｋ（ｋ＋１）は２の倍数であるから，（ｋ^5−ｋ）も５ｋ（ｋ＋１）（ｋ^2＋ｋ＋１）も１０の倍数である．→Ｐ（ｋ＋１）は１０の倍数である．

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