７を法とする２のベキ乗（ｎ＝７，ａ＝２）の場合を調べてみると

　　２^1＝２，２^2＝４，２^3＝１，２^4＝２，２^5＝４，２^6＝１

この数列の周期は3で、整数２は７を法として位数3をもっているという。ord7(2)=3

フェルマーの定理より、位数はp-１の約数でなければならない。ｐ=7に対して位数は決して4にはなりえないのである。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　７を法とする３のベキ乗（ｎ＝７，ａ＝３）の場合を調べてみると

　　３^1＝３，３^2＝２，３^3＝６，３^4＝４，３^5＝５，３^6＝１

７を法とする３の位数は６である。ord7(3)=6

位数はp-１の約数でなければならないので、これはとりうる最大値である。

それゆえ、３は７を法とする原始根と呼ばれる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

もう一つの原始根＝ｐを法とするｇの逆元を見つけたい。

　　ｇ2＝ｇ1^φ(p)-1 （mod p)

φ(p)=p-1より、

　　ｇ2＝ｇ1^p-2 （mod p)

上の例ではg1=3,p=7であるから

3・5=15=1 (mod 7)より、5は逆元であることが確かめられる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

７を法とする、もう一つの原始根であることを確かめてみよう。

　７を法とする５のベキ乗（ｎ＝７，ａ＝５）の場合を調べてみると

　　５^1＝５，５^2＝４，５^3＝６，５^4＝２，５^5＝３，５^6＝１

７を法とする５の位数は６である。ord7(5)=6

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

7つの要素をもつ有限体F7={0,1,2,3,4,5,6}を考えてみよう。

7の倍数となる差を無視する。3=10=-4,-1=6

5+4=2

3-6=4

2・4=1

しかし、除算はどうなるのだろうか？

たとえば、1/2=?

２倍して１になる数は何か？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

1/ｎ＝ｎ^5

である。したがって、1/2＝2^5＝32＝4

1/4＝2，3/2＝3・4＝5であることがわかる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

同様に

1/3=3^5=5

1/5=3

1/6=6^5=6=-1・・・6はそれ自身の逆数である

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝