代数学の教えるところによれば，ｎ元の体（加減乗除の演算が定義された集合）が存在するための必要十分条件は，ｎが素数（のベキ乗）になっていることで，位数２，３，４＝２^2，５の体は存在するが，位数６＝２×３の体は存在しない．そして，位数７，８＝２^3，９＝３^2の体は存在して，位数１０＝２×５のものは存在しない．

　重要なのは，

　　「ｐが素数のとき，Ｚ／ｐＺは体である．」 ということで，素数ｐで割ったときの余りで分類した数体系を考えると，ｐ個の元からなる有限体ができあがります．そして，素数ｐに対して定まる有限体をＦpと書きます．

　　Ｆ7＝｛０，１，２，３，４，５，６｝

はあるが，Ｆ6というものは存在しないというわけです．

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　また，ａをｐ−１回掛けると１になります．Ｆ7において

　　ａ＼^n　　１　　２　　３　　４　　５　　６

　　　１　　　１　　１　　１　　１　　１　　１

　　　２　　　２　　４　　１　　２　　４　　１

　　　３　　　３　　２　　６　　４　　５　　１

　　　４　　　４　　２　　１　　４　　２　　１

　　　５　　　５　　４　　６　　２　　３　　１

　　　６　　　６　　１　　６　　１　　６　　１

最後の列はすべて１です．

　このように，ｐで割り切れない整数ａに対して，フェルマーの定理

　　ａ^(p-1)＝１　　（ｍｏｄ　ｐ）

が成り立つというわけです．また，このことからａ^(p-2)がａの逆元となることも理解されます．

　　１／ａ＝ａ^(p-2)

Ｆ7では，

　　１／３＝３^5＝５，１／６＝６^5＝６

　なお，この表において，１は１乗してはじめて１になりますが，２は３乗して，３は６乗して，４は３乗して，５は６乗して，６は２乗してはじめて１になります．ｐと互いに素な整数ａがｐ−１乗してはじめて１になるとき，ａを原始根といいます．Ｆ7においては３，５が原始根です．

　Ｆpにおける原始根ａが与えられたとき，０以外のすべての元は，

　　ａ^i　　　（i=0〜p-2）

の形に表すことができます．

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