今回のコラムでは有限体を係数にもつ多項式の因数分解を扱うことにした．

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【１】Ｆp係数多項式（方程式）

　有限体Ｆpを係数にもつ１変数多項式の集合Ｆp［ｘ］を考えます．たとえば，

　　ｘ^2＋２ｘ＋３

において，ｍｏｄ５の多項式と考えるというのは，係数がｍｏｄ５で合同な多項式はすべて同じものと見なすということです．

　　ｘ^2＋２ｘ＋３

　＝ｘ^2＋７ｘ＋８

　＝６ｘ^2−３ｘ＋３

　＝−４ｘ^2−１２ｘ−２３

Ｆp［ｘ］が環をなすことは簡単に証明できます．

　（その３）に掲げた問題は，Ｆ5において，多項式を１次式の積として表せというものなのですが，整数係数のときのように足して３，掛けて２となる２数１，２はＦ5でも１と２でよく，答えは

　　ｘ^2＋３ｘ＋２＝（ｘ＋１）（ｘ＋２）

となります．

　　ｘ^2＋４

では足して０，掛けて４となる２数は整数ではあり得ませんが，前述の足し算とかけ算と表を見ると，Ｆ5では１と４がこれを満たすので，

　　ｘ^2＋４＝（ｘ＋１）（ｘ＋４）

同様に足して２，掛けて２はＦ5では３と４より，

　　ｘ^2＋２ｘ＋２＝（ｘ＋３）（ｘ＋４）

となります．

　この例ではＦ5だったので，前述の足し算とかけ算と表を見ながらやるとわかりやすいのですが，ｐが大きくなると簡単ではなくなります．そこで，因数定理「ｎ次方程式ｆ（ｘ）＝０がαを根にもつならば，

　　ｇ（ｘ）＝（ｘ−α）ｑ（ｘ）

という形に分解できる」を用いることにします．

　この定理は（普通の）多項式の因数分解の方法を与えているのですが，Ｆp係数のｎ次方程式がＦpの中に根をもつ場合でも適用され，確実でしかも速いやり方になっています．

　たとえば，

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^2＋４

とおいて，ｘに順次０から４まで代入して，ｍｏｄ５として計算してゆくと

　　ｆ（０）＝４，ｆ（１）＝５＝０，ｆ（２）＝８＝３，ｆ（３）＝１３＝３，ｆ（４）＝２０＝０

より，ｆ（ｘ）＝０の２根は１（＝−４）と４＝−１．したがって，

　　ｘ^2＋４＝（ｘ−１）（ｘ−４）＝（ｘ＋４）（ｘ＋１）

　同様に，

　　ｇ（ｘ）＝ｘ^2＋２ｘ＋２

では

　　ｇ（０）＝２，ｇ（１）＝５＝０，ｇ（２）＝１０＝０，ｇ（３）＝１７＝２，ｇ（４）＝２２＝２

より，ｇ（ｘ）＝０の２根は１（＝−４）と２（＝−３）の２個．したがって，

　　ｘ^2＋２ｘ＋２＝（ｘ−１）（ｘ−２）＝（ｘ＋３）（ｘ＋４）

　普通にできる因数分解も，有限体Ｆ5上で考えると

　　ｈ（ｘ）＝ｘ^2＋３ｘ＋２

　　ｈ（０）＝２，ｈ（１）＝６＝１，ｈ（２）＝１２＝２，ｈ（３）＝２０＝０，ｈ（４）＝３０＝０

したがって

　　ｘ^2＋３ｘ＋２＝（ｘ−３）（ｘ−４）＝（ｘ＋２）（ｘ＋１）

　このように，任意のＦp係数多項式Ｆp［ｘ］は有限個の既約多項式の積に分解されるのですが，整数と同様に，この分解は係数の違いを無視すれば一意に決まります．

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