杉本晃久さんより興味深い連絡が届いた…

ついにaperiodic monotile（１種類の多角形で，非周期にしかタイル張りができない多角形タイル）が見つかったようです．それもペンローズタイルのような特別なマッチングルールをもない凹多角形です．

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＜補足＞

タイル張りの周期が零ベクトルしかないとき，それを「非周期的タイル張り（Nonperiodic tiling）」と言う．

タイルの有限集合が「非周期的タイル集合（Aperiodic prototile set）」とは，それらを並べると平面をタイル張りできるが，出来たタイル張りは全て非周期的タイル張りになる場合を言う．

ペンローズのタイリングはNonperiodic tilingであり，ペンローズ・タイルと呼ばれるAperiodic prototile setを持つ（性質がある） ．つまり，「非周期的タイル集合（Aperiodic prototile set）」が２つのタイルを含む場合に該当します．

非周期的タイル集合が１つのタイルの場合（aperiodic monotile）に関しては，２０１１年の

J. E. S. Socolar and J. M. Taylor, An aperiodic hexagonal tile, Journal of Combinatorial Theory, 18 (2011), 207-2231.

が知られていましたが，いろいろ議論があったようです．

今回のaperiodic monotileは，ペンローズ・タイルのような矢印などのマッチングルールもないとのことです．

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