切稜立方体の計量

立方体の１辺の長さを２とする。

立方体の表面に残る長方形を2dx2eとする

体積を求めてみたい

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切稜でできる五角形の頂点は

(d,e,1),(1,d,e),(e,1,d)

これらの中間にある頂点はこの３点から等距離にあるので、(D,D,D)とおくことができる。

xy平面上x+by=c上に

(1,d),(e,1),(D,D)があるとすると

1+bd=c

e+b=c

D+bDc

1+bd=e+b

b=(e-1)/(d-1),c=(de-1)/(d-1), D=(de-1)/(d+e-2)

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xz平面上x+bz=c上に(d,1),(1,e)がある

d+b=c

1+be=c

d+b=1+be

b=(d-1)/(e-1),c=(de-1/(e-1)

(0,0)からx+bz=cまでの距離はh=|de-1|/((d-1)^2+(e-1)^2)^1/2

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五角形を２つの台形に分解

S1=1/2・(2d+2D)・{(D-1)^2+((D-e)^2}

S2=1/2・(2e+2D)・{(D-1)^2+((D-d)^2}~

V=12/3・(S1+S2)h+6/3・2d・2e

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検算

正12面体:d=(3-√5)/2,e=0,V=3.41641

菱形12面体:d=0,e=0,v=2

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1辺の長さ1の正12面体の体積は(15+7√5)/4

1辺の長さdの正12面体の体積は(15+7√5)/4・{(3-√5)/2}^3=3.41641

菱形12面体の菱形の中心を結んで立方体を作ると、菱形12面体の体積はその立方体の２倍となる。

立方体の１辺の長さは1であるから、菱形12面体の体積は2

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立方体の１辺の長さを２とする。立方体に上面の1辺の長さが1の四角錐台を６つ貼り付けてみると

四角錐台の体積は

(a^2+ab+b^2)・h

a=1,b=2,h=1/2

四角錐台を６つの体積は7で、立方体と合わせると15,

これを縮小率2/3で計算すると、体積は15(2/3)^3=15・8/27=40/9

2d=2/3,2e=2/3→体積は40/9に一致した。

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