今回のコラムで扱う問題は，ユークリッドが考察していたとされ，アポロニウスが取り上げ，パップスが成果をあげた難題「三線・四線軌跡問題」である．この問題は１７世紀に至るまで波紋を広げることになった．

　　［参］カッツ著「数学の歴史」，共立出版

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【１】三線問題・四線問題

　３本の定直線が与えられたとき，ひとつの直線への距離の平方が，ほかの２直線への距離の積に対して与えられた比をもつ点の軌跡を求める問題が三線問題である．また，四線問題とは１組の直線への距離の積がほかの２直線への距離の積に対して与えられた比をもつ点の軌跡を求める問題である．（ここでいう距離は，各々の直線に対して定められた角度をもつように測るものとする．）

　３直線のうち２本が平行で，第３の直線が最初の２本に垂直な場合，このような点の軌跡は円錐曲線である．ギリシアの数学者にとって問題となったのは，３本の直線がどのような位置にあっても，解の軌跡が円錐曲線であることを証明することであった．アポロニウスは「円錐曲線論」に，ユークリッドは三線問題を部分的にしか解決できなかったが，新たな結果によって問題は完全に解決できると書いていて，実際，円錐曲線は与えられた点から曲線に引いた２接線と２接点を結ぶ割線に対して三線問題の軌跡となる．

　円錐曲線が四線問題の解となることも証明される．ギリシアではもっと線の数の多い場合の軌跡を求める試みがなされたが，はかばかしい結果は得られなかった．パップスは５本（６本）の直線が与えられた際に，これらの直線の３本に対して与えられた角度の引かれた線で囲まれた直角平行六面体が残りの２本（３本）の直線に囲まれた直角平行六面体に対して与えられた比となるようにある点の軌跡を求める問題を考察したが，７本以上の直線に対しては（３次元を超える図形は描くことができないから）それらのうちの４本によって囲まれた図形はもはやできないと指摘している．

　これこそが１７世紀においてデカルトが解析幾何学によって解決できることを証明した問題である．デカルトはｎ本の直線の場合に一般化し，完全な解答を与えた．すなわち，３本ないし４本の直線が与えられたときには２次になり，５本ないし６本（五線問題，六線問題）では３次になり，直線が２本加わるたびに次数が１次増加する．

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