3次元空間の任意の９点を通る2次曲面が存在する

3次元空間の任意の19点を通る3次曲面が存在する

ある2次曲面（双曲面）をその上に含むような3次曲面はその２次曲面と１つの平面から成り立っている

２重６角形はつねにある3次曲面上にある

以上により3次曲面の上に2・6+15本の直線を見出すことができる

27個の直線は

ai-6

bi-6

cij(i＜j)-6・5/2=15

27個の直線、216対=16/2・27の交わらない直線、135対＝10/2・27の交わる直線

221配置の上には135個の点が属する、x・2=27・10

ｐ個の点とｇ個の直線からなり、各点にはγ個の直線が通り、各直線上にはπ個の点がある配置を（ｐγ、ｇπ）と表示するとｐγ＝ｇπ

（１３５2、２７10)

また、この双対（４５3、２７5)も作り上げることができる

なお、２重６角形は（３０2、１２5)である。

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[a1,a2,a3,a4,a5,a6]

[b1,b2,b3,b4,b5,b6]

同じ行・同じ列にないとき交わる

a1b2は交わる

a1a2は交わらない

a1b1は交わらない

cij,cklは同じ添え字を持たないとき交わる

cij,cklは同じ添え字を持つとき交わらない

c12c34は交わる

c12c13は交わらない

ai(bi),cjkは同じ添え字を持つとき交わる

ai(bi),cjkは同じ添え字を持たないとき交わらない

a1c12,b1c12は交わる

a1,c23,b1c23は交わらない

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27本の直線中b6は16本と交わらない

a6

b1, b2, b3, b4, b5

c12,c23,c34,c45

c13,c24,c35

c14,c25

c15

これらは４次元曲面上の16本の直線と考えることができる

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４次元曲面上のa6は10本の直線

c12,c23,c34,c45

c13,c24,c35

c14,c25

c15

と交わらない。これらは5次元曲面上の10本の直線と考えることができる

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５次元曲面上のc45は6本の直線(double three)

c14,c24,c34

c15,c25,c35

と交わらない。これらはskew hexagon(c14c35c24c15c4c25)とみなすことができ、6次元曲面上の6本の直線と考えることができる

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6次元曲面上のc25は3本の直線

c24

c15, ,c35

と交わらない。これらは7次元曲面上の3本の直線と考えることができる

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7次元曲面上のc24は

c15, ,c35

の両方と交わるが、 c15, ,c35は互いに交わらない。

これらは8次元曲面には1本の直線c15を含むもの、1本の直線c35を含むもの、一本も含まないものがある。

9次元曲面は一本の直線も含まない。

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P21の頂点図形は(P-1)21であり、

240→56→27→16→10→6→3

は

P=4→3→2→1→0→-1→-2

に対応する

27個の直線、216対=16/2・27の交わらない直線、135対＝10/2・27の交わる直線は

27個の頂点、216個の辺、135個の対角線に対応する

頂点図形はhγ5,t1α4,三角柱,二等辺三角形

逆向きにたどれば56個の直線、240個の直線

27個の直線、28個のbitangent,120個のtritangent

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