直観幾何学研究会2023において、松田康雄先生（長崎大学）が２次曲線をめぐる話題を取り上げられた

２次曲線の中に円C1,c2,・・・が接し、円Cnと円cn+1が互いに外接するとする。

円Cn: (x^2+(y-cn)^2=rn^2

双曲線: x^2-ay^2=b

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

xを消去すると(a+1)y^2-2cy-rn^2+cn^2+b=0

重解をもつから判別式=0→cn^2=(a+1)/a・(rn^2-b)

円Cnと円cn+1が互いに外接することから中心間距離は半径の和になって、

cn+1-cn=rn+1+rn

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

c0^2=(a+1)/a・(r0^2-b)

cn+1^2=(a+1)/a・(rn+1^2-b)

cn^2=(a+1)/a・(rn^2-b)

cn+1^2-cn^2=(a+1)/a・(rn+1^2-rn^2)

cn+1-cn=rn+1+rnを代入すると

cn+1+cn=(a+1)/a・(rn+1-rn)

cn=1/2a・rn+1-(2a+1)/2a・rn

r1=(2a+1)r0+ac0

c1=r0+r1+c0

rn+2-(4a+2)rn+1+rn=0

cn+2-(4a+2)cn+1+cn=0

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

a=1/4の場合を考える

rn+1-(3)rn+1+rn=0

特性方程式の解は(3+/-√5)/2=φ^2,1/φ^2で、

1項おきのフィボナッチ・リュカ数列となる

b=4/5,r0=1→c0=1,r1=2,c1=4→rn=F2n+1,cn=L2n+1

b=-4/5,r0=1→c0=3,r1=3,c1=7→rn=F2n+2,cn=L2n+2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

一般に、 2次曲線の離心率をeとする。２次曲線の中に円C1,c2,・・・が接し、円Cnと円cn+1が互いに外接するとする。

円の半径をrnとおくと、漸化式rn+2-2(2e^2-1)rn+1+rn=0が成り立つ。

e=1（放物線）ではrn+2-2rn+1+rn=0→rn+2-rn+1=rn+1-rn→rnは等差数列をなす。

楕円ではcosθ,cos2θ,cos3θ,cos4θ,・・・→rnは余弦の等差数列をなす。このような問題は和算でよくみられる

双曲線ではcoshθ,cosh2θ,cosh3θ,cosh4θ,・・・→rnは双曲余弦の等差数列をなす。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝