１次分数変換（メビウス変換）

　　ｗ＝（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）

は円を円に変換する．（この変換は円は円に移り，直線も円へ移るという性質を併せもつ．）

　メビウス変換

　　ｗ＝ｆ（ｚ）＝（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）

は複素数球面上で考えると１つの回転に対応していて，たとえば，数ｚを

　　（ｚ−１）／（ｚ＋１）

に置き換えるには，北極と南極が赤道のところにくるように球を９０°回転させればよい（０を−１に，１を０に，∞を１に移す座標変換）．この写像は等角写像になる．

　また，［０，ｉ，−ｉ］を［１，−１，０］に移す変換は

　　ｗ＝−（ｚ＋ｉ）／（３ｚ−ｉ）

となるが，少しだけ補足しておきたい．

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【１】接円定理と反転法

　接する円の族に関する定理では何百という美しい定理があるが，シュタイナー円鎖について述べておきたい．小円を大円の内部におき，この２つの円の中間に次々に接する円列を作る．たいていの場合，最後の円は重なってしまい，この円列は互いに接する円環をなさない．しかしときとして完全な円環をなす場合がある．これがシュタイナー円鎖である．

　最も簡単なものとしては，たとえば，半径が３と１の同心円に対しては６個の単位円よりなるシュタイナー円鎖が存在し，円の中心の軌跡は半径２の円となる（円の最密充填）．シュタイナー円鎖をなす円の中心の軌跡は楕円となる．

　アルキメデスのアルベロス（靴屋のナイフ）円列はシュタイナーの円鎖の特別な場合になっていて，円の中心はすべて基線上に長径をもつ楕円の上にのっている．この円列の円の中心から基線までの距離は半径の２倍，４倍，８倍，・・・となる（パッポス）．

　ソディー（アイソトープの発見でノーベル賞を受賞した英国の化学者）の６球連鎖はシュタイナー円鎖の３次元版であるが，シュタイナー円鎖の場合とは異なって，球連鎖は常に繋がり必ず６個の球からなる．そして６個の球の中心，球同士の接点はすべて同一平面上にあるのである．

　反転によって，接する２円は接する２円か，円とその接線か，平行な２直線のいずれかにに移る．また，平面上の交わらない２つの円を同心円に移す写像が存在する．

　シュタイナー鎖では同心円でなく，また交わりもせずに一方の円が他方の円の中に入っている状態で，この２つの円の間に連結する半径が異なる小円の鎖が内接している．これの３次元版がソディーのhexlet（６球連鎖）である．シュタイナーやソディーの定理はこれらの事実に基づいて証明されるのである．

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【２】シュタイナーの定理におけるメビウス変換

　シュタイナーの定理は最初の２円が同心円になるような反転を考えると容易に証明できる．

　　１＝（ａ＋ｂ）／（ｃ＋ｄ）

　　−１＝（−ａ＋ｂ）／（−ｃ＋ｄ）

　　α＝ｂ／ｄ

を解くと

　　ｗ＝（ｚ＋α）／（αｚ＋１）

は半径１の円板をそれ自身に移し，［−１，０，１］はそれぞれ［−１，α，１］に移されることがわかる．（円板の中心が円板の中心に移されるわけではない）．

　メビウス変換

　　ｗ＝（ｚ＋α）／（αｚ＋１）

の逆変換は

　　ｚ＝（−ｗ＋α）／（αｗ−１）

であるが，一般には

　　ｗ＝（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）

の逆変換は

　　ｚ＝（ｄｗ−ｂ）／（−ｃｗ＋ａ）

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【３】シュタイナーの円

　シュタイナーは反転法によって，鎖の間の連結する小円の半径やはじめの２つの円の中心間距離などの条件を求めた．

　メビウス変換

　　ｗ＝（ｚ＋ａ）／（ａｚ＋１）

したがって，ｗ＝０に写されるのはｚ＝−ａ．ｚ→∞に対する極限は１／ａ．ｚ→−１／ａに対する極限は∞．すなわち，ｚ＝−ａは０に写り，ｚ＝−１／ａは∞に写る．ゆえに，ｗ平面の原点を通る直線はｚ＝−ａとｚ＝−１／ａを通る円の像である（−１＜ａ＜０）．

　円の中心は，ｘ＝−（ａ＋１／ａ）／２上にあるから，

　　（ｘ＋（ａ＋１／ａ）／２）^2＋（ｙ−ｙ0）^2＝｛（ａ−１／ａ）／２｝^2＋ｙ0^2

　また，その逆変換は

　　ｚ＝（−ｗ＋ａ）／（ａｗ−１）

であるから，ｚ＝０に写されるのはｗ＝ａである．ｗ→∞に対する極限は−１／ａ．ｗ→１／ａに対する極限は∞．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　他方，原点を中心とする同心円｜ｗ｜＝ｋは

　　｜（ｚ＋ａ）／（ａｚ＋１）｜＝ｋ

で定義される円の像である．これはｚ＝−ａとｚ＝−１／ａの２点を極限点とするアポロニウスの円である．つまり，ｚ＝−ａとｚ＝−１／ａの２点からの距離の比が一定な点の軌跡である．

　　｜（ｚ＋ａ）／（ａｚ＋１）｜＝｜（ｚ＋ａ）｜／｜（ａｚ＋１）｜＝｜（ｚ＋ａ）｜／｜ａ｜｜（ｚ＋１／ａ）｜＝ｋ

より，２点

　　（−ａ，０），（−１／ａ，０）

からの距離の比が｜ａ｜ｋ：１のアポロニウスの円となる．

　　（ｘ＋ａ）^2＋ｙ^2：（ｘ＋１／ａ）^2＋ｙ^2＝ａ^2ｋ^2：１

　　（ｘ−ａ（１−ｋ^2）／（１−ａ^2ｋ^2））^2＋ｙ^2＝｛ｋ^2（１−ａ^2ｋ^2）＋ａ^2（１−ｋ^2）^2｝／（１−ａ^2ｋ^2）^2

　こうして，ｗ＝０を通る直線は（ｙ軸に平行な直線上に中心をもつ）ｚ＝−ａ，ｚ＝−１／ａを通る円に，｜ｗ｜＝ｋはその円に直交する円となる．このような円の族が作る図形を２点−ａと−１／ａで決まるシュタイナーの円という．

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