【２】ｎ＝５の星形化（星形５／２角形）

　内接円の中心を原点にとる．外接円との交点をＡ（ｘ1，ｒ），Ｂ（ｘ2，ｙ2），Ｃ（０，Ｒ＋ｄ）とすると，

　　ｘ1ｃｏｓθ＋ｒｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ2ｃｏｓθ＋ｙ2ｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ2ｃｏｓφ＋ｙ2ｓｉｎφ＝ｒ

　　（Ｒ＋ｄ）ｓｉｎφ＝ｒ

　また，外接円の中心Ｏ（０，ｄ）と点Ａ，点Ｂとの距離の２乗はＲ^2となることより

　　ｘ1^2＋（ｒ−ｄ）^2＝Ｒ^2

　　ｘ2^2＋（ｙ2−ｄ）^2＝Ｒ^2

　θとφを消去するにはどうしたらよいか？　まず，双心五角形の場合，すなわち，内接円の中心を原点にとる．外接円との交点をＡ（ｘ1，−ｒ），Ｂ（ｘ2，ｙ2），Ｃ（０，Ｒ＋ｄ）とすると，

　　ｘ1ｃｏｓθ−ｒｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ2ｃｏｓθ＋ｙ2ｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ2ｃｏｓφ＋ｙ2ｓｉｎφ＝ｒ

　　（Ｒ＋ｄ）ｓｉｎφ＝ｒ

　また，外接円の中心Ｏ（０，ｄ）と点Ａ，点Ｂとの距離の２乗はＲ^2となることより

　　ｘ1^2＋（ｒ＋ｄ）^2＝Ｒ^2

　　ｘ2^2＋（ｙ2−ｄ）^2＝Ｒ^2

と比較してみてほしい．正負符号が一部で逆転するだけである．

　双心五角形の基底は，

　　ｄ^6−２ｄ^4ｒＲ＋８ｄ^2ｒ^3Ｒ−３ｄ^4Ｒ^2−４ｄ^2ｒ^2Ｒ^2＋４ｄ^2ｒＲ^3＋３ｄ^2Ｒ^4＋４ｒ^2Ｒ^4−２ｒＲ^5−Ｒ^6＝０

であるが，ｒ→−ｒとおくとｒの奇数乗の項で正負が逆転し，星形双心五角形の基底は，

　　ｄ^6＋２ｄ^4ｒＲ−８ｄ^2ｒ^3Ｒ−３ｄ^4Ｒ^2−４ｄ^2ｒ^2Ｒ^2−４ｄ^2ｒＲ^3＋３ｄ^2Ｒ^4＋４ｒ^2Ｒ^4−２ｒＲ^5＋Ｒ^6＝０

となる．

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