ポンスレーの定理とは「小円を大円の内部におく．大円上の点Ｐ0から小円へ接線を引き，大円と交わる点をＰ1とする．Ｐ1から再び小円へ接線を引き，大円と交わる点をＰ2とする．この２つの円の中間に次々に接する接線列を作る．たいていの場合，最後の交点は最初の点Ｐ0と重ならない．しかしときとして完全に重なる場合がある．このとき，最初の点Ｐ0をどこに選ぼうとも完全な多角形環をなす．」というものです．

　ポンスレーの定理は，２つの円を２つの楕円ばかりか，どんな円錐曲線に置き換えても成立します．さらに円を球面上の球帽，ｎ角形を球面上の円弧ｎ角形に置き換えても成立します．

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【１】ポンスレーの定理とオイラー・フースの定理

　ポンスレーの定理において，一方の円（半径Ｒ）に内接し，もう一方の円（半径ｒ）に外接する三角形は無数にある．これが成り立つための条件は２つの円の中心間距離をｄとして，

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2

となることである（オイラーの定理）．２つの円が同心円ならばｄ＝０であるから，Ｒ＝２ｒが成り立つ．

　四角形やそれ以上のｎ角形についても同様の定理が成り立ち，ひとつの円に内接し，他の円に外接する四（ｎ）角形は無数にある．オイラーの定理のｎ角形版として，フースの定理が知られている．たとえば，内接円と外接円の両方をもつ四角形（双心四角形）では，

　　２ｒ^2（Ｒ^2＋ｄ^2）＝（Ｒ^2−ｄ^2）^2 　　　（フースの定理）

が成り立つ．２つの円が同心円ならばｄ＝０であるから，Ｒ＝√２ｒが成り立つ．また，双心四角形の２組の対辺上の内接円の接点を結ぶ線分は互いに直交する．

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2　　　（オイラーの定理）

　　２ｒ^2（Ｒ^2＋ｄ^2）＝（Ｒ^2−ｄ^2）^2 　　　（フースの定理）

は初等幾何学的に大学入試程度の問題に還元できる．

［１］オイラーの定理の証明

　内接円の中心を原点にとると，等辺となる直線は

　　ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ＝ｒ

外接円との交点をＡ（ｘ1，−ｒ），Ｂ（０，Ｒ＋ｄ）とすると，

　　ｘ1ｃｏｓθ＝ｒ（１＋ｓｉｎθ）

　　（Ｒ＋ｄ）ｓｉｎθ＝ｒ

　二等辺三角形の等辺の長さは正弦定理より

　　ａ／ｓｉｎ（π／２−θ）＝ａ／ｃｏｓθ＝２Ｒ

　また，二等辺三角形の半分の直角三角形に注目すると

　　（Ｒ＋ｄ＋ｒ）／ａ＝ｃｏｓθ

　　Ｒ＋ｄ＋ｒ＝２Ｒ（ｃｏｓθ）^2

さらに相似三角形より

　　ｒ／（Ｒ＋ｄ）＝ｓｉｎθ

　　２Ｒｒ^2／（Ｒ＋ｄ）^2＝２Ｒ（ｓｉｎθ）^2

　２つの方程式からθを消去すると，オイラーの定理

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2

が示される．

［２］フースの定理の証明

　凧型の代わりに等脚台形を考えることにする．内接円の中心を原点にとると，脚となる直線は

　　ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ＝ｒ

外接円との交点をＡ（ｘ1，−ｒ），Ｂ（ｘ2，ｒ）とすると，

　　ｘ1ｃｏｓθ＝ｒ（１＋ｓｉｎθ）

　　ｘ2ｃｏｓθ＝ｒ（１−ｓｉｎθ）

これらは

　　ｘ1ｘ2＝ｒ^2

を満たす．

　また，外接円の中心Ｏ（０，−ｄ）と点Ａ，点Ｂとの距離の２乗はＲ^2となることより

　　ｘ1^2＝Ｒ^2−（ｒ−ｄ）^2

　　ｘ2^2＝Ｒ^2−（ｒ＋ｄ）^2

　　ｘ1^2ｘ2^2＝ｒ^4

に代入して整理すると

　　２ｒ^2（Ｒ^2＋ｄ^2）＝（Ｒ^2−ｄ^2）^2

が得られる．

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