ところで、このビリヤード運動の不変量であるが、

単位円x^2y^2=1

中間三角形を(a1,a2),(b1,b2),(c1,c2)

これに外接する三角形を二等辺三角形(1,0),(c1,y1),(c1,-y1)に固定してグレブナー基底を求める

y1が消去されて中間三角形の不変量が求められるのではないかと思う。

x+dy=eが(1,0),(a1,a2),(c1,y1)を通る→1=e,a1+da2=e=1,d=(1-a1)/a2

c1+dy1=e=1,y1=(1-c1)/d=a2(1-c1)/(1-a1)

x+dy=eが(1,0),(b1,b2),(c1,-y1)を通る→1=e,b1+db2=e=1,d=(1-b1)/b2

c1-dy1=e=1,y1=-(1-c1)/d=-b2(1-c1)/(1-b1)

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a2(1-c1)/(1-a1)=-b2(1-c1)/(1-b1)

a2/(1-a1)=-b2/(1-b1)

これは(1,0)と(a1,a2)

(1,0)と(b1,b2)を結ぶ線分がx軸に関して対称になっているという性質である

グレブナー基底は使わなかった。これで完全かどうかはわからないが、一つの性質になっていると思われる。

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→これは当たり前の結果であった。三角形であれば

x+dy=eが(1,0),(a1,a2),(x1,y1)を通る→1=e,a1+da2=e=1,d=(1-a1)/a2

x1+dy1=e=1

x+dy=eが(b1,b2),(x2,y2)を通る→b1+db2=e,x2+dy2=e

x+dy=eが(c1,c2),(1,0)を通る→c1+dc2=e,1=e

五芒星であれば

x+dy=eが(1,0),(a1,a2),(x1,y1)を通る→1=e,a1+da2=e=1,d=(1-a1)/a2

x1+dy1=e=1

x+dy=eが(b1,b2),(x2,y2)を通る→b1+db2=e,x2+dy2=e

x+dy=eが(c1,c2),(x3,y3)を通る→c1+dc2=e,x3+dy3=e

x+dy=eが(a1,a2),(x4,y4)を通る→a1+da2=e,x4+dy4=e

x+dy=eが(b1,b2),(1,0)を通る→b1+db2=e,1=e,d=(1-b1)/b2

として、変数を消去しながらグレブナー基底を求めればいいのだと思う。

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中間三角形でなく、中間二角形の場合、三角形はできそうもないが

五芒星であれば

x+dy=eが(1,0),(a1,a2),(x1,y1)を通る→1=e,a1+da2=e=1,d=(1-a1)/a2

x1+dy1=e=1

x+dy=eが(b1,b2),(x2,y2)を通る→b1+db2=e,x2+dy2=e

x+dy=eが(a1,a2),(x3,y3)を通る→a1+da2=e,x3+dy3=e

x+dy=eが(b1,b2),(x4,y4)を通る→b1+db2=e,x4+dy4=e

x+dy=eが(a1,a2),(1,0)を通る→a1+da2=e,1=e,d=(1-a1)/a2

として、変数を消去しながらグレブナー基底を求めればいいのだと思う。

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