３次元空間に、27個の球面と72個の交点があり、どの球面上にも16個の交点があり、どの交点も６個の球面が通る２21点配置がある。

それに対応する6次元多面体があり、それはdouble sixによって構成できる。

27個の点は

Pi-6

Qi-6

Rij-6・5/2=15

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

[性質1]

P1-6は同じ超平面上にある

Q1-6は同じ超平面上にある

PPPRRRは同じ超平面上にある

PQRRRR同じ超平面上にある

計72個・・・5-simplexに対応

[性質2]

PPPPPRRRRRは同じ超平面上にある

QQQQQRRRRRは同じ超平面上にある

計27個・・・5-cross polytopeに対応

総計99個

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

[性質3]

Pi＋Qj+Rij＝0

[性質4]

Σ(Pi＋Qj)+ΣRij＝0

これらは重心に関する性質である。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ai,bj,cij

aiはbj(j≠i),cij(j≠i)と交わるがその他とは交わらない

bjも同様

cijはaiaj,bibj,cklと交わるがその他の直線とは交わらない。

変換 ai←→bjがdouble sixであり、cijはそのまま

E6ルート系はR8の基底e1,・・・e8から作られる。240個

この変換を正12面体に施せば三角形になり、正20面体が得られる

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝