パップスの定理もデザルグの定理もパスカルの定理もメネラウスの定理，チェバの定理を用いて証明することができます．

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【１】射影幾何学におけるパップスの定理とデザルグの定理

［１］パップスの定理

　直線上に３点Ａ，Ｂ，Ｃ，もう一つの直線上に３点Ａ’，Ｂ’，Ｃ’をとる．ＡＢ’とＡ’Ｂの交点をＰ，ＢＣ’とＢ’Ｃの交点をＱ，ＡＣ’とＡ’Ｃの交点をＲとするとき，Ｐ，Ｑ，Ｒは同一直線上にある．

　すなわち，２直線上にすべての頂点がのっている６角形の反対側の位置にある辺同士の交点は同一直線上にあるというのが，射影幾何学におけるパップスの定理である．

　パスカルの定理は円錐曲線が既約でない場合にも成り立つといわけで，これを発見したのもパップスである．直線は無限半径をもつ円であるが，２本の直線からなる退化した円錐曲線を考えれば容易にこの定理にたどりつくであろう．

［２］デザルグの定理

　△ＡＢＣと△Ａ’Ｂ’Ｃ’において，ＡＡ’とＢＢ’とＣＣ’が点Ｏで交わるとする．ＡＢとＡ’Ｂ’の交点をＰ，ＢＣとＢ’Ｃ’の交点をＱ，ＡＣとＡ’Ｃ’の交点をＲとするとき，Ｐ，Ｑ，Ｒは同一直線上にある．

　透視図法で移り合う２つの三角形について，対応する辺の交点はすべて１直線上にあるというのがデザルグの定理である．平行でない直線は有限の点で交わるが，平行な直線群は同じ無限遠点で交わる．無限遠直線を導入すると，任意の２直線は必ず交わることになるのである．

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【２】メネラウスの定理とチェバの定理

［１］メネラウスの定理

　直線が△ＡＢＣの辺またはその延長と，それぞれＰ，Ｑ，Ｒで交わるとき

　　ＡＰ／ＰＢ・ＢＱ／ＱＣ・ＣＲ／ＲＡ＝１

が成り立つ．逆に，

　　ＡＰ／ＰＢ・ＢＱ／ＱＣ・ＣＲ／ＲＡ＝１

が成り立てば，Ｐ，Ｑ，Ｒは１直線上にある．

［２］チェバの定理

　△ＡＢＣの辺またはその延長上にない点Ｏをとる．頂点Ａ，Ｂ，Ｃと点Ｏを結ぶ直線が△ＡＢＣの辺またはその延長とそれぞれＰ，Ｑ，Ｒで交わるとき

　　ＡＲ／ＲＢ・ＢＰ／ＰＣ・ＣＱ／ＱＡ＝１

が成り立つ．逆に，

　　ＡＲ／ＲＢ・ＢＰ／ＰＣ・ＣＱ／ＱＡ＝１

が成り立てば，ＡＰ，ＢＱ，ＣＲは１点で交わる．

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　２つの定理は一見似たような定理ですが，メネラウスの定理は「３点が１直線上にある」ことを，チェバの定理は「３直線が１点で交わる」ことを示しています．

　パスカルの定理から１５０年以上たって，その双対にある共点定理「円錐曲線の外接する６辺形の対角線は１点で交わる」が発見されたのですが，それがブリアンションの定理です．メネラウスとチェバの生存時期も１５００年以上違い，その間何もなされませんでした．不思議さを感じてしまいます．

　なお，射影平面上では点という語と直線という語を入れ替えても定理は成り立っています．これをポンスレーの双対原理と呼び，射影幾何学の最も美しい特質です．

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