正単体はKn+1完全グラフの形に投影することができる。その場合、中心部は拡大され、周辺部は圧縮される。

この関係はエッシャーの描いた「天国と地獄」を想起させる。そこでは白い天使と黒い悪魔が円板を埋め尽くしている。

その意味で、ポアンカレの双曲円板の正単体版ともいえる。

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ユークリッド平面内の双曲平面のモデルとしては

[1]ベルトラミ・クラインモデル(BK)

[2]ポアンカレモデル(P)

[3]上半面モデル(H)

があるが、[1][2]はそれ自身の境界をもたない一つの円である。

前者では直線はユークリッド的線分であるが、角は違った方法で測らなければならない。

後者では角はユークリッド的であるが、直線は円周に垂直な円弧である。

クラインの双曲円板の正単体版といったほうがいいかもしれない。

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安冨先生はベルトラミ・クラインモデルで説明を行っていた。直線が直線に移るからであろう。

さらに、五芒星ρ=2/5が得られる幾何学的条件は、P,Qを固定してRを動かすことによって

楕円領域(x-C)^2/A^2+y^2/B^2=1の中のそれに内接する楕円領域であることをつきとめた。

ρ(t)=1/3（三角形）とρ(t)=2/5（ペンタグラム）では平坦になるが、それ以外(ρ=3/8など・・・)では悪魔の階段的なふるまいをする様子が示された。

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悪魔の階段はポンスレーの定理でも見られると思われる。

geogebraが使えるようになったので、このような面白い結果が得られているのであろうと思う。

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