ビリヤードでは、三角形以外の図形を考えられるところであって、

ρ(t)=1/3（三角形）とρ(t)=2/5（ペンタグラム）では平坦になるが、それ以外では悪魔の階段的なふるまいをする様子が示された。

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ポンスレーの定理は、N角形が内接円と外接円を持つという双心N角形になっているという幾何学的問題としても理解されるのですが、そのための条件がオイラーの定理であり、フースの定理です。

一方、ビリヤード運動の不変量をグレブナー基底の形で求めるとオイラーの定理なりフースの定理が得られます。

安富先生のパワポにビリヤード経路をまとめた長い多項式が書かれたありましたが、あれから変数を消去すると不変量（グレブナー基底）が残ります。（私はあの多項式をヘッセの標準形を連立させた形で記述したことを覚えています。）

フースは８角形の場合までを調べたと書かれてありましたので、私も8角形までの不変量を調べ、すべて同次式ΣR^ir^jd^k=0,I+j+k=nの形となりました。（ケイリーの定理）

これができると、星形化はr →　-ｒの置き換えだけで可能になるところすぐ理解されました。

安富先生の問題でも何か不変量が存在するのではないかと直感しています。

ポンスレーの定理も円と円の組み合わせでなく楕円と楕円の組み合わせでも成り立つことが知られていますが、

安富先生の問題では円に内接あるいは外接する楕円が存在することが不変量になっているように私には思えました。（記憶が定かではありませんが、ガウスの楕円あるいはシュタイナー楕円を調べればわかると思います。）

したがって、3次方程式の複素数解のなす配置と関係していると思います。

山岸義和先生（龍谷大）より円に内包されるのが三角形ではなく、線分では安富問題の解はどうなるのかという質問が出ていましたが、そうであれば、ますますN次方程式の解との関係は強く示唆されるところです。

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