【３】ファンデンバーグ・ジーベックの定理

　「ガウスの定理」より

　　『複素数係数の３次方程式ｆ（ｚ）＝０の複素数解をα1，α2，α3，２次方程式ｆ’（ｚ）＝０の解をβ1，β2とする．このとき，線分β1β2は三角形α1α2α3に含まれる．１次方程式ｆ”（ｚ）＝０の解をγとするとき，線分β1β2の中点が点γとなる．』ですが，もっと面白い現象

　　『２点β1，β2は三角形α1α2α3の３辺の中点でこれらの辺に接する楕円の焦点になる．』

に到達することができます．

（証）γ＝（α1＋α2＋α3）／３＝（β1＋β2）／２

また，３辺の中点は

　　μ1＝（α2＋α3）／２，μ2＝（α3＋α1）／２，μ3＝（α1＋α2）／２

　このとき，中線定理を使うと

　　｜μ1−β1｜＋｜μ1−β2｜＝｜μ2−β1｜＋｜μ2−β2｜＝｜μ3−β1｜＋｜μ3−β2｜

が成り立つ．

［系］与えられた三角形に内接する面積が最大となるシュタイナー楕円は，接点が各辺の中点となるものである．その面積比は

　　π／３√３

で円とそれに外接する正三角形の面積比に等しい．

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［補］三角形についてのパップスの中点定理

　△ＡＢＣにおいて，辺ＢＣ上に中点Ｍが与えられている．このとき，

　　ＡＢ^2＋ＡＣ^2＝２（ＡＭ^2＋ＢＭ^2）

が成り立つ．

　３辺の長さをａ，ｂ，ｃ，ＡＭ＝ｘで表すと，

　　２（ｘ^2＋（ａ／２）^2）＝ｂ^2＋ｃ^2

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