１８世紀末になって，ガウスは数学に本格的に複素数を導入し「実数あるいは複素数を係数にもつ代数方程式ｆ（ｘ）＝ａ0ｘ^n＋ａ1ｘ^n-1＋・・・＋ａn＝０は複素数の範囲に解をもつ」，「ｎ次方程式は複素数の範囲にｎ個の解をもつ」という解の存在証明＝「代数学の基本定理（fundamental theorem of algebra）」を証明しました（１７９９年）．

　代数学の基本定理は任意の実数係数をもつ多項式は１次および２次の実数多項式の積である，あるいは任意の複素係数多項式は１次の複素数多項式に分解されうることを述べています．多くの数学者は基本定理を証明なしに信じてきたのですが，ガウスはこの定理を非常に重要と考えたので，生涯に４つの異なる証明を与えています（最後の証明は１８４８年になされた）．

　今回のコラムでは，複素数係数のｎ次方程式の複素数解が複素平面上で作るｎ角形の性質に関する「ガウスの定理」を紹介します．

　　［参］シェーンベルグ「数学点描」近代科学社

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】ガウス・リュカの定理

　複素数係数の２次方程式ｆ（ｚ）＝０の複素数解をα1とα2，１次方程式ｆ’（ｚ）＝０の解をβとする．このとき，線分α1α2の中点が点βとなる．（あとのためには，点βが線分α1α2の中点であるというよりも，点βが線分α1α2の重心であるといったほうがよい．）

　複素数係数の３次方程式ｆ（ｚ）＝０の複素数解をα1，α2，α3，２次方程式ｆ’（ｚ）＝０の解をβ1，β2とする．このとき，線分β1β2は三角形α1α2α3に含まれる．１次方程式ｆ”（ｚ）＝０の解をγとするとき，線分β1β2の中点が点γとなる．

　一般に，ｎ次方程式ｆ（ｚ）＝０の複素数解をα1，α2，・・・，αnと書くことにすると，ｎ−１次方程式ｆ’（ｚ）＝０の解β1，β2，・・・，βn-1はｎ角形［α1，α2，・・・，αn］に，ｎ−２次方程式ｆ”（ｚ）＝０の解γ1，γ2，・・・，γn-2はｎ−１角形［β1，β2，・・・，βn-1］に含まれる．・・・．１次方程式ｆ^(n-1)（ｚ）＝０の解ωはｎ角形［α1，α2，・・・，αn］の重心となる．

　「代数学の基本定理」の解の位置関係については，このようなことまで成り立ってしまうのです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】ガウスの定理の証明のあらすじ

　ここでは，複素数係数の３次方程式の複素数解が複素平面上で作る３角形の性質に関する「ガウスの定理」の証明のあらすじを紹介します．

　　ｆ（ｚ）＝ａｘｚ3＋ｂｚ^2＋ｃｚ＋ｄ＝０

の解をα1，α2，α3，

　　ｆ’（ｚ）＝３ａｚ^2＋２ｂｚ＋ｃ＝０

の解をβ1，β2とします．

　すなわち，

　　ｆ（ｚ）＝（ｚ−α1）（ｚ−α2）（ｚ−α3）＝０

　　ｆ’（ｚ）＝（ｚ−α1）（ｚ−α2）＋（ｚ−α2）（ｚ−α3）＋（ｚ−α3）（ｚ−α1）＝０

　このとき，複素有理関数

　　Ｆ（ｚ）＝ｆ’（ｚ）／ｆ（ｚ）＝１／（ｚ−α1）＋１／（ｚ−α2）＋１／（ｚ−α3）

を導入すると

　　ｆ（ｚ）＝０の解→Ｆ（ｘ）の極，ｆ’（ｚ）＝０の解→Ｆ（ｘ）の零点をなることを使うと，ガウスの定理を導出することができます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝