２次曲線が３頂点を通れば

pxy+qyz+rzx=0

これが楕円を表すための条件はp^2+q^2+r^2-2(pq+qr+rp)<0

楕円の中心を(ξ,η,ζ) とすれば

(ξ,η,ζ)=(p((-p+q+r),q(p-q+r),r(p+q-r))

核心(p,q,r)=(ξ(-ξ+η+ζ),η(ξ-η+ζ),ζ(ξ+η-ζ))

3頂点での接線はry+qz=0,pz+rx=0,qx+py=0

2本ずつの交点は(-p,q,r),(p,-q,r),(p,q,-r)であるからAA',BB',CC'の交点がPとなる。

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Pが重心のとき、外接楕円の方程式はxy+yz+zx=0

中心も重心Gで、シュタイナーの楕円と呼ばれる。外接楕円中、囲む面積が最小のものである。

元の楕円との面積比は4π/3√3=2.418399で三角形の形によらない。

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外接円の面積＞=シュタイナー楕円の面積＝4ｘガウス楕円の面積＞=4ｘ内接円の面積

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