単位円周上にある三点A,B,Cについて、

[1]外心O=0

[2]重心G=(a+b+c)/3

[3]垂心H=(a+b+c)

３点O,G,Hは同一直線上（オイラー線）にあり、その内分比は1:2となる。

OH^2=9R^2-a^2-b^2-c^2

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[4]9点円の中心N9は（オイラー線）にあり、その内分比は1:1となる。N9=(a+b+c)/2

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[5]内接円と９点円は接する。その点をフォイエルバッハ点という。

９点円の半径はR/2なので、2IN9=|R-2r|

a=x^2,b=y^2,c=z^2とおくと、内心I=-(xy+yz+zx)

|R-2r|=|x+y+z|^2

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[6]OI^2=R(R-2r)

したがって、R＞=2rが成り立つ。

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OI^2=R^2-2Rr（チャップルの定理）

OH^2=R^2(1-8cosAcosBcosC)

IH^2=2r^2+4R^2-1/2(a^2+b^2+c^2)

OHの中点Qは９点円の中心

IQ^2=1/2(IH^2+IO^2)-1/4OH^2=(R/2-r)^2

IQ=R/2-r(フォイエルバッハの定理)

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2sinA/2・sinB/2・sinC/2=(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/4abc=r/2R＜=1/4

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