三角形ＡＢＣの各辺を１：λの比に順次内分した点Ｄ，Ｅ，Ｆとし，ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの２本ずつの交点が作る三角計ＰＱＲを仮に「縮小三角形」と呼ぶことにする．

　正三角形の縮小三角形は正三角形であるが，コラム「縮小三角形の問題」では，任意の三角形の縮小三角形がもとの三角形と相似になる場合を扱った．

　ΔＰＱＲの面積／ΔＡＢＣの面積＝（λ−１）^2／（λ^2＋λ＋１）

　　　λ＝２なら１／７，λ＝３なら４／１３

　相似条件式はａ≦ｃ≦ｂまたはｂ≦ｃ≦ａとして

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

になる．もちろんａ＝ｂ＝ｃはこれを満足するが，それ以外にも多数の解がある．そしてそれが必要十分条件であり，実際に縮小三角形がもとの三角形と裏返しに相似になる．

（Ｑ１）三角形ＰＱＲが三角形ＡＢＣと裏返しに相似になっている直角三角形の例を求めよ．

（Ａ１）縮小三角形の相似条件式は

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

である．もちろんａ＝ｂ＝ｃはこれを満足するが，それ以外にも多数の解がある．等号を満たすためには

　　ａ≦ｃ≦ｂまたはｂ≦ｃ≦ａ

であることが必要条件になる，

　　　ａ^2＋ｃ^2＝ｂ^2とすると（１＋λ）ａ^2−ｃ^2＝０

　　　λ＝２のとき，ｃ＝√３ａ，ｂ＝２ａ　　　（３辺の比が１：√３：２）

　　　ｂ^2＋ｃ^2＝ａ^2とすると（１＋λ）ｂ^2−λｃ^2＝０

　　　λ＝２のとき，ｃ＝√（３／２）ｂ，ａ＝√（５／２）ｂ　　　（３辺の比が√２：√３：√５）

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（Ｑ２）ａ，ｂ，ｃがすべて整数の例を求めよ．

（Ａ２）不定方程式

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

において，λ＝２のとき，ａ＝１，ｂ＝１１，ｃ＝９がひとつの解であるが，これでは三角形にならない！　ａ^2＋２ｂ^2＝３ｃ^2の整数解を代数幾何的（類体論的？）に求めて，二辺の和は他の一辺よりも長いかどうかを確かめる方が近道と思われる．

　　（ａ，ｂ，ｃ）＝（５，１３，１１），（５，２３，１９），（１９，６１，５１），（１９，７１，５９），（２３，３７，３３），（２５，４７，４１），（２９，５９，５１），（４３，９７，８３），（４７，８３，７３），（５３，７３，６７），（２３，１３，１７），（２５，１１，１７），（２９，１１，１９），（４７，２３，３３），（４７，８３，７３），（５３，３７，４３），（９５，５９，７３），（９５，７３，８１）

などが見つかるが，鋭角三角形になる例に限るとλ＝２，ａ，ｂ，ｃ≦１００の場合だけでも，

　　（ａ，ｂ，ｃ）＝（２３，３７，３３），（２５，４７，４１），（４７，８３，７３），（５３，３７，４３），（５３，７３，６７），（７３，４７，５７），（９５，７３，８１）

の７組が抽出される．

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