［１］三角数：ｎ（ｎ＋１）／２

［２］四角数：ｎ^2＝ｎ（２ｎ−０）／２

［３］五角数：ｎ（３ｎ−１）／２

［４］六角数：ｎ（４ｎ−２）／２

［５］七角数：ｎ（５ｎ−３）／２

［６］八角数：ｎ（６ｎ−４）／２

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五角数のｎを０以下にする

［３］五角数：ｎ（３ｎ−１）／２の負の値での同じ形の数

［３］五角数：ｎ（３ｎ＋１）／２を考えることになる。

[1]次の数列が得られる。

・・・,40,26,15,7,2,0,1,5,12,35,51,70,・・・

[2]小さい順に並べなおす

0,1,2,5,7,12,15,22,26,35,40,51,57,70,77,92,100,・・・

[3]階差をとる

1,1,3,2,5,3,7,4,9,5,11,6,13,7,15,8,・・・

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奇数の数列1,3,5,7,9,11,13,・・・と自然数の数列1,2,3,4,5,6,7,・・・が交互に現れている

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ｋ（ｋ＋１）／２という形の整数を三角数，ｋ^2という形の整数を四角数，ｋ（３ｋ−１）／２という形の整数を五角数といいます．一般に，

　　ｋ（（ｍ−２）ｋ−ｍ＋４）／２

という形の整数をｍ角数といいます．

　(a)オイラーの五角数定理（１７５０年）

　　Π(1-q^n)=Σ(-1)^mq^(m(3m-1)/2))　　　n:1~∞，m:-∞~∞，m(3m-1)/2は五角数

　(b)ヤコビの三角数定理（１８２９年）

　　Π(1-q^n)^3＝Σ(-1)^m(2m+1)q^((m^2+m)/2)　　　n:1~∞，m:0~∞，(m^2+m)/2は三角数

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　オイラーの恒等式（５角数定理）

　　Π（１−ｘ^n）＝Σ（−１）^k・ｘ^k(3k-1)/2

＝１−ｘ−ｘ^2＋ｘ^5＋ｘ^7−ｘ^12−ｘ^15＋ｘ^22＋ｘ^26−ｘ^35−ｘ^40＋ｘ^54＋ｘ^57−ｘ^70−ｘ^77＋ｘ^92＋ｘ^100−・・・

の級数の係数はすべて１か−１であり，１が２つ，−１が２つ，・・・と繰り返すことがわかる．

　オイラー関数の２乗

　　Π（１−ｘ^n）^2＝Σ（−１）^k・ｘ^k^2・Σ（−１）^k・ｘ^3k^2+k

＝１−２ｘ−ｘ^2＋２ｘ^3＋ｘ^4＋２ｘ^5−２ｘ^6−２ｘ^8−２ｘ^9＋ｘ^10＋・・・

には特別な性質があるようにはみえない．

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【１】ガウスの恒等式（３角数定理）

　ところが，オイラーの発見から７０年ほど経って，ガウスはオイラー関数の３乗

　　Π（１−ｘ^n）^3＝Σ（−１）^k（２ｋ＋１）・ｘ^k(k+1)/2

＝１−３ｘ＋５^3−７ｘ^6＋９ｘ^10−１１ｘ^15＋・・・

を与えることを証明した．

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