Fn+m=FmFn+1+Fm-1Fn

において、mをnの倍数に選ぶことにより、FnkはFnの（Fkの）倍数であることがわかる。

F30はF15,F10,F6,F5などによって割り切れる。

言い換えると、三つ目ごとのFnは偶数、四つ目ごとのFnはF4=３の倍数、五つ目ごとのFnはF5=５の倍数

したがって、n=4を除く合成数nに対するFnは合成数である。また、すべてのFpが素数であるとは限らない。

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1876年、リュカは

(Fm,Fn)=F(m,n)

であることを示した。

(F45,F30)=610=F15

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各素数pに対して、ｐで割り切れるようなFnが存在する。

例:

Fp-1=0 (modp)← p=±1(mod5)のとき

Fp+1=0 (modp)← p=±2(mod5)のとき

F5=0 (mod5)

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奇素数ｐに対して、

Fp=5^((p-1)/2) (modp)

が成り立つ。

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