【３】二項係数表現

　初項１，第２項１から始まるフィボナッチ数列

　　１，１，２，３，５，８，・・・

の場合は，

　　Ｆn＝１／√５［｛（１＋√５）／２｝^n−｛（１−√５）／２｝^n］

であるから，ｘ^n−１に対応していて

　　Ｆn＝Π(k=1~[n/2])｛１＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／ｎ）｝

となる．

　二項係数ととフィボナッチ数の間にもエレガントな関係がある．パスカルの三角形において，水平線上の値を合計すると２のベキが現れるが，対角線上の値を合計するとフィボナッチ数が現れるというものである．

　　Ｆn＝Σ(k=0~[n/2])（ｎ−ｋ，ｋ）

［補］二項係数と２のベキの積和には３のベキが現れる．

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Fn+1=(n,0)+(n-1,1)+(n-2,2)+・・・

たとえば

F12=(11,0)+(10,1)+(9,2)+(8,3)+(7,4)+(6,5)=144

また、

2^(n-1)Fn=(n,1)+5(n,3)+5^2(n,5)+・・・

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2^(p-1)Fp=(p,1)+5(p,3)+5^2(p,5)+・・・

2^(p)Fp+1=(p+1,1)+5(p+1,3)+5^2(p+1,5)+・・・

2^(p-2)Fp-1=(p-1,1)+5(p-1,3)+5^2(p-1,5)+・・・

mod 5

2^(p-1)Fp=(p,1)=p

2^(p)Fp+1=(p+1,1)=p+1

2^(p-2)Fp-1=(p-1,1)=p-1

もし、p=±1 (mod5)ならFp-1はｐで割り切れる

もし、p=±2 (mod5)ならFp+1はｐで割り切れる

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