まず，

［Ｑ］ｎ個の連続する整数の積はｎ！で割り切れる

ことを証明してみよう．

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２個の連続する整数には少なくとも１個の偶数が含まれる．→２で割り切れる．

３個の連続する整数には少なくとも１個の３の倍数が含まれる．→３で割り切れる．

４個の連続する整数には少なくとも１個の４の倍数が含まれる．→４で割り切れる．

５個の連続する整数には少なくとも１個の５の倍数が含まれる．→５で割り切れる．

としてもいいし，

　　ｍ（ｍ−１）（ｍ−２）・・・（ｍ−ｎ＋１）／ｎ！

　＝ｍ！／ｎ！（ｍ−ｎ）！＝mＣn

としてもよい．

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［Ｑ］ｎ^5−ｎは１０の倍数である．

　ｎ^5−ｎ＝ｎ（ｎ^4−１）＝ｎ（ｎ^2−１）（ｎ^2＋１）

＝（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）（ｎ^2＋１）

　（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）は３個の連続する整数の積であるから３！＝６で割り切れることはわかるが，（ｎ^2＋１）は

　　２，５，１０，１７，２６，・・・

となって，ｎ^5−ｎが１０の倍数であるかどうかはよくわからない．

　そこで，数学的帰納法を使ってみよう．

Ｐ（１）＝１^5−１＝０・・・１０の倍数である

Ｐ（ｋ）＝ｋ5−ｋが１０の倍数であると仮定する．このとき，

Ｐ（ｋ＋１）＝（ｋ＋１）^5−（ｋ＋１）

＝（ｋ^5−ｋ）＋５ｋ（ｋ＋１）（ｋ^2＋ｋ＋１）

　ｋ（ｋ＋１）は２の倍数であるから，（ｋ^5−ｋ）も５ｋ（ｋ＋１）（ｋ^2＋ｋ＋１）も１０の倍数である．→Ｐ（ｋ＋１）は１０の倍数である．

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等差数列をなす４数の積が平方数となるのは-3,-1,1,3の場合だけである。 (オイラー）

(n-3d)(n-d)(n+d)(n+3d)=(n^2-d^2)(n^2-9d^2)=n^4-10d^2n^2+9d^4=N^2.

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