球面上の大円弧からなるグラフで、各頂点での弧のなす角度が120°であるものは10個しかない。（プラトー問題）

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単純正多面体を考える。各頂点での弧のなす角度は120°になるはずであるが、確かめてみる。

正四面体の内角をθとする。

4(3θ-π)=4π

12θ=8π、θ=2π/3

立方体の内角をθとする。

6(4θ-2π)=4π

24θ=16π、θ=2π/3

正12面体の内角をθとする。

12(5θ-3π)=4π

60θ=40π、θ=2π/3

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正八面体の内角をθとする。

8(3θ-π)=4π

24θ=12π、θ=π/2

正20面体の内角をθとする。

20(3θ-π)=4π

60θ=24π、θ=2π/5

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成立条件は

三角形・四角形・五角形からなる単純多面体である

三角柱

ねじれ重四角錐台

五角柱

四角形２枚と五角形２枚からなる屋根型2つををねじって二枚貝のように上下から合わせたもの

ねじれ重四角錐を屋根として四角形２枚と五角形２枚からなる屋根型を上下から貼り合わせたもの

などが加わる

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