【２】素数等差数列

整数の集合を１０列に並べてみたところ，双子素数は（３，５），（５，７），（１１，１３），（１７，１９），（２９，３１），（４１，４３），（５９，６１），（７１，７３）の８組あることが確認できたが，列方向に注目すると，4列目，6列目，8列目と１０列目には素数がないことがわかる．２列目と５列目では最初の項を除けば素数がないことがわかるだろう．２と５以外の素数はすべて1列目，３列目，７列目と９列目にまとまっているのであるが，とくに５列目には

　　３，１３，２３

という素数の等差数列が見られる．

次に，整数の集合を２×３＝６列に並べてみる．

０１　０２　０３　０４　０５　０６

０７　０８　０９　１０　１１　１２

１３　１４　１５　１６　１７　１８

１９　２０　２１　２２　２３　２４

２５　２６　２７　２８　２９　３０

３１　３２　３３　３４　３５　３６

３７　３８　３９　４０　４１　４２

４３　４４　４５　４６　４７　４８

４９　５０　５１　５２　５３　５４

５５　５６　５７　５８　５９　６０

６１　６２　６３　６４　６５　６６

６７　６８　６９　７０　７１　７２

７３　７４　７５　７６　７７　７８

７９　８０　８１　８２　８３　８４

８５　８６　８７　８８　８９　９０

９１　９２　９３　９４　９５　９６

９７　９８　９９　100

非素数を除去すると

　０２　０３　　　　０５　　　

０７　　　　　　　　　　１１　　　

１３　　　　　　　　　　１７　　　

１９　　　　　　　　　　２３　　　

　２９　　　

３１　　　　　　　　　　　　　　　

３７　　　　　　　　　　４１　　　

４３　　　　　　　　　　４７　　　

　５３　　　

　　　　　　　５９　　　

６１　　　　　　　　　　　　　　　

６７　　　　　　　　　　７１　　　

７３　　　　　　　　　　　　　　　

７９　　　　　　　　　　８３　　　

　　　　　　　８９　　　

　　　　９３　　　　　　　　　

９７　　　　　　　　　　　　　　　

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4列目と6列目には素数がないことがわかる．２列目と３列目では最初の項を除けば素数がないことがわかるだろう．２と３以外の素数はすべて1列目と5列目にまとまっているのであるが，とくに５列目には

　　５，１１，１７，２３，２９

という素数の等差数列が見られる．

　２×３＝６列に引き続き，整数の集合を

　２×３×５＝３０列

　２×３×５×７＝２１０列

に並べてみても，同様の現象が観察される．たとえば，３０列に並べた場合，２と３と５以外の素数はすべて1行目，7行目，11行目，13行目，17行目，19行目，23行目，29行目にまとまっている．

　　３５９，３８９，４１９，４４９，４７９，５０９

２１０列に並べた場合，

　　１９９，４０９，６１９，８２９，１０３９，１２４９，１４５９，１６６９，１８７９，２０８９

このようにして，素数等差数列を得ることができる．セメレディの定理（１９７５年）によると，ある集合の密度が０でなければどのような長さの等差数列もその集合の中に含まれるのである．

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１９９＋２１０ｎは0＜＝ｎ＜＝9に対し、素数になる。

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