ケプラーの方程式は

　　exp(x)(x-1)=exp(-x)(x+1)

　　exp(2x)=(x+1)/(x-1)=1+2/(x-1)

　　exp(-2x)=(x-1)/(x+1)=1-2/(x-1)

に帰着される。

　両辺の対数をとって

2x=log(x+1)/(x-1)

log(x+1)=x-x^2/2+x^3/3+x^4/4-・・・

log(x+1)/(x-1)=2{1/x+1/3x^3+1/5x^5+1/7x^7+・・・} (x^2>1)

から初期値を概算することもできるが、かえって面倒そうである。

　　→ｘ＝1.1996678640257734・・・

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よく知られた結果

　　１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２

は

　　ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−ｘ^2／２＋ｘ^3／３−ｘ^4／４＋・・・

から得られる．

　ｘを−ｘで置き換えた級数

　　ｌｏｇ（１−ｘ）＝−ｘ−ｘ^2／２−ｘ^3／３−ｘ^4／４−・・・

を組み合わせると

　　ｌｏｇ（１＋ｘ）／（１−ｘ）＝２（ｘ＋ｘ^3／３＋ｘ^5／５＋ｘ^7／７＋・・・）が得られる．

　｜ｘ｜＜１でしか有効ではないが，このとき，（１＋ｘ）／（１＋ｘ）はすべての正価を取ることができる．

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もし問題がexp(x)(x-1)=exp(-x)(x+1)でなく

exp(x)(1-x)=exp(-x)(1+x)であったならば

2x=log(1+x)/(1-x)=２（ｘ＋ｘ^3／３＋ｘ^5／５＋ｘ^7／７＋・・・）

ｘ^3／３=-ｘ^5／５

ｘ^2=-5/3となって、x=0以外に解なし

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