１９７５年，エルデスとセルフリッジは連続する整数の積は整数のベキでないこと，すなわち

　　ｙ^q＝ｘ（ｘ＋１）・・・（ｘ＋ｐ−１）

はすべてが＞１である整数解（ｘ，ｙ，ｐ，ｑ）をもたないことを証明しています．

　したがって，

　連続する３個の自然数の積は平方数とはならない

　連続する４個の自然数の積は平方数，立方数とはならない

　連続するｋ（＞１）個の自然数の積はある数のベキ乗数とはならない

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［Ｑ］連続する３個の自然数の積（ａ−１）ａ（ａ＋１）は平方数とはならないことを示せ．

［Ａ］ａ≧２．（ａ−１）とａ，ａと（ａ＋１）は互いに素であるから，（ａ−１）ａ（ａ＋１）は平方数ならばａ自身が平方数でなければならない．すると（ａ−１）（ａ＋１）＝ａ^2−１も平方数であるから，ａ^2−１＝ｂ^2と書ける．

　このとき，ａ^2−ｂ^2＝（ａ＋ｂ）（ａ−ｂ）＝１より（ａ，ｂ）＝（±１，０）となり，ａ≧２であることに反する．

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［Ｑ］連続する３個の自然数の積（ａ−１）ａ（ａ＋１）はｋ乗数とはならないことを示せ．

［Ａ］ａ^2−１とａは互いに素．（ａ−１）ａ（ａ＋１）がｋ乗数ならば隣り合う整数ａ^2−１とａ^2がともにｋ乗数であるが，そのようなことはあり得ない．

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