約数の数を更新する合成数は、小さいほうから

2(2),4(3),6(4),12(6),24(8),36(9),48(10),60(12),120(16),180(18),240(20),360(24)

720(30),840(32),1260(36),1680(40),2520(48),5040(60),・・・

自分自身を除く約数の積が6乗数になるXX(14)はみつからないのである。

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5個の約数の数を持つ数をp^aq^br^c・・・とすると

1+p+・・・+p^4=(p^5-1)/(p-1)

p＝2とおくとp^4=16

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7個の約数の数を持つ数をp^aq^br^c・・・とすると

1+p+・・・+p^6=(p^7-1)/(p-1)

p＝2とおくとp^6=64

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11個の約数の数を持つ数をp^aq^br^c・・・とすると

1+p+・・・+p^10=(p^11-1)/(p-1)

p＝2とおくとp^10=1024

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13個の約数の数を持つ数をp^aq^br^c・・・とすると

1+p+・・・+p^12=(p^13-1)/(p-1)

p＝2とおくとp^12=2^12

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15個の約数の数を持つ数をp^aq^br^c・・・とすると

1+p+・・・+p^14=(p^15-1)/(p-1)

p＝2とおくとp^14=2^14

(1+p+p^2)(1+q+・・・+q^4)=(p^3-1)/(p-1)・(q^5-1)/(q-1)

最小の数はq=2,p=3とおくとp^2・q^4=9・16＝144

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100個の約数の数を持つ数をp^aq^br^c・・・とすると

(1+p)(1+q)(1+r+r^2+r^3+r^4)(1+s+s^2+s^3+s^4)

p=7,q=5,r=3,s=2とおくと

pqr^4s^4=15・6^4=45360

は100個の約数を持つ最小数である。

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