完全数とは自分自身を除く約数の和に等しい数をいう．たとえば，

　　６＝１＋２＋３

　　２８＝１＋２＋４＋７＋１４

　ユークリッドは２^n-1（２^n−１）が偶数の完全数であるための必要条件は，

　　２^n−１

が素数のときであることを示した．

　（ｄ，ｎ／ｄ）＝１，すなわち，　ｎの約数ｄがｎ／ｄと互いに素であるとき，規準約数という．

　ｎが（ｎ以外の）規準約数の和となるかどうか調べてみよう．

　　（１，６）＝１　　　　（１，２８）＝１

　　（２，３）＝１　　　　（２，１４）≠１

　　（３，２）＝１　　　　（４，７）＝１

　　　　　　　　　　　　　（７，４）＝１

　こうして，６は規準完全数であるが，２８はそうでないことがわかる．規準完全数は完全無欠な完全数といえるが，今のところわかっているのは，次の５つだけである．

　　６，６０，９０，８７３６０

　　１４６３６１９４６１８６４５８５６２５６００００

　完全無欠な完全数は有限個しかないと思われている．

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　　（１，６０）＝１　

　　（２，３０）≠１　

　　（３，２０）＝１　

　　（４，１５）＝１　

　　（５，１２）＝１　

　　（６，１０）≠１

　　６０＝１＋３＋４＋５＋１２＋１５＋２０

　　（１，９０）＝１　

　　（２，４５）＝１　

　　（３，３０）≠１　

　　（５，１８）＝１　

　　（６，１５）≠１　

　　（９，１０）＝１

　　９０＝１＋２＋５＋９＋１０＋１８＋４５

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