自然数Ｎの正の約数の和をσ（Ｎ）で表すことにします．Ｎが素数ならば，　　σ（Ｎ）＝１＋Ｎ

完全数ならば

　　σ（Ｎ）＝２Ｎ

が成り立ちます．

　　σ（６）＝１＋２＋３＋６＝１２＝２・６

　　σ（２８）＝１＋２＋４＋７＋１４＋２８＝５６＝２・２８

　　σ（４９６）＝（１＋２＋２^2＋２^3＋２^4）（１＋３１）＝９９２＝２・４９６

　ユークリッドは「原論」の中で，２^n−１が素数ならば２^n-1（２^n−１）は完全数であることを示し，さらにオイラーは偶数の完全数はこの形に限ることを証明しました．偶数の完全数は無限に存在するか，奇数の完全数は存在するかは未解決の難問になっています．

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【１】概完全数

　さて，ここでは

　　σ（Ｎ）＝２Ｎ−１

を満たす自然数を概完全数と呼ぶことにします．

　Ｎ＝２^rとすると

　　σ（Ｎ）＝（１＋２＋２^2＋・・・＋２^r）＝２^r+1−１＝２Ｎ−１

ですから，偶数の概完全数は無限に存在することがわかります．

　１６の自分自身を除く約数は１，２，４，８で，

　　１６−１＝１＋２＋４＋８

であるから，１６は概完全数である．１６に限らず，２の累乗はみな概完全数である．奇数の概完全数が存在するかどうかはわかっていない．

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［Ｑ］σ（Ｎ）が奇数ならば，Ｎは平方数であることを示せ．

［Ａ］Ｎ＝ｐ1^e1・ｐ2^e2・・・ｐk^ekと素因数分解されるものとすると，

　　σ（Ｎ）＝Π（１＋ｐi＋ｐi^2＋・・・＋ｐi^ei）

　σ（Ｎ）は奇数であるから，１＋ｐi＋ｐi^2＋・・・＋ｐi^eiも奇数→eiは偶数→Ｎは平方数である

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【２】ｋ倍完全数

　　σ（Ｎ）＝ｋＮ

を満たす自然数をｋ倍完全数と呼ぶことにします．

　　σ（１２０）＝３６０＝３・１２０

すなわち，３倍完全数です．どのｋに対してもｋ倍完全数は存在するだろうといわれています．

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【３】超完全数

２^18=262144は1と自分自身を加えた約数の合計が524287

524287+1＝2・262144

で概完全数ですが、＝超完全数とも呼ばれています。2，4，16，64など

すべて2の累乗になっています。奇数の超完全数があるかどうかはわかっていません。

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