インド生まれの数学者ラマヌジャンは，多くの公式や定理を発見し，神秘的な東洋の天才数学者とよばれていて，１日１つの割合で新しい公式または定理を発見したといわれています．ラマヌジャンは，素数と同じくらい風変わりな数として高次合成数の性質について探求しています．

　合成数とは素数でない数のことで，高次合成数とは２４のように１，２，３，４，６，８，１２，２４と多くの約数をもつ数のことです．素数の正反対の性質をもつ数，反素数といってもよいでしょう．

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　２４未満の数で，約数が６個を超えるものはない．たとえば，２２の約数は４個，２１も４個，２０は６個，ところが，２４には８個の約数がある．それ未満の数より多くの数をもつ数を「高次合成数」と定義することにする．

　　ｎ＝２^a2×３^a3×５^a5×７^a7×・・・×ｐ^ap

高次合成数２４，６０は

　　２４＝２^3×３^1，ａ2＝３，ａ3＝１

　　６０＝２^2×３^1×５^1，ａ2＝２，ａ3＝１，ａ5＝１

のように表せる．

　また，

　　６７４６３２８３８８８００＝２^6×３^4×５^2×７^2×１１×１３×１７×１９×２３，ａ2≧ａ3≧ａ5≧・・・≧１

　ａ2≧ａ3≧ａ5≧・・・≧１は最後の指数は１になることを示しているが，無数にある高次合成数のなかでただ２つの例外がある．

　　４＝２^2，３６＝２^2×３^2

　高次合成数に関しても，素数定理

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

（π（ｘ）は任意の整数ｘを越えない素数の個数を表すものとする）のような類似式があるという．

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　また，２４は有名なラマヌジャンの関数τ（ｎ）にも関連している．

　　Δ（ｚ）＝ｑΠ（１−ｑ^n）^24＝Στ（ｎ）ｑ^n

　　ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）

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［おまけ］

　（１＋１／７）（１＋１／１１）（１＋１／１９）

＝｛２（１−１／３^2）（１−１／７^2）（１−１／１１^2）（１−１／１９^2）｝^1/2

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