12は自分自身を除く約数の積が平方数になる（それ自身の平方である）最小の数である。

2・3・4・6=144＝12＾2

24は自分自身を除く約数の積が3乗数になる（それ自身の３乗である）最小の数である。

2・3・4・6・8・12=13824＝24＾3

その次は40

2・4・5・8・10・20=40^3

48は自分自身を除く約数の積が4乗数になる（それ自身の4乗である）最小の数である。

2・3・4・6・8・12・16・24=5308416＝48＾4

その次は80

2・4・5・8・10・16・20・40=80^4

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120の約数は1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40,60，120の16個の約数を持つ。

その約数の和はσ(120)=360で、3倍完全数となっている。

自分自身を除く約数の積は,

2・60=120

3・40=120

4・30＝120

5・24=120

6・20=120

8・15=120

10・12＝120

自分自身を除く約数の積が7乗数になる

60の約数は1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60の約数を持つ。

2・30=60

3・20=60

4・15＝60

5・12=60

6・10=60

自分自身を除く約数の積が5乗数になる

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96の約数は1，2，3，4，6，8，12，16、24、32，48の約数を持つ。

2・48=96

3・32=96

4・24＝96

6・16=96

8・12=96

自分自身を除く約数の積が5乗数になる

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約数の数を更新する合成数は、小さいほうから

2(2),4(3),6(4),12(6),24(8),36(9),48(10),60(12),120(16),180(18),240(20),360(24)

720(30),840(32),1260(36),1680(40),2520(48),5040(60),・・・

自分自身を除く約数の積が6乗数になるXX(14)はみつからないのである。

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14個の約数の数を持つ数をp^aq^br^c・・・とすると

1+p+・・・+p^13=(p^14-1)/(p-1)

p＝2とおくとp^13=2^13=8192

(1+p)(1+q+・・・+q^6)=(p^2-1)/(p-1)・(q^7-1)/(q-1)

最小の数はq=2,p=3とおくとp・q^6=3・（2＾6）＝192

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この話は非トーション

φ(x)=n

ｎ＝14は解ｘをもたない。

n=14,26,34,38,50,・・・と続く。

とは関係しないので誤解しないように。

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22個の約数の数を持つ数をp^aq^br^c・・・とすると

1+p+・・・+p^21=(p^22-1)/(p-1)

p＝2とおくとp^13=2^21

(1+p)(1+q+・・・+q^10)=(p^2-1)/(p-1)・(q^11-1)/(q-1)

最小の数はq=2,p=3とおくとp・q^10=3・（2＾10）

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26個の約数の数を持つ数をp^aq^br^c・・・とすると

1+p+・・・+p^25=(p^25-1)/(p-1)

p＝2とおくとp^25=2^25

(1+p)(1+q+・・・+q^12)=(p^2-1)/(p-1)・(q^13-1)/(q-1)

最小の数はq=2,p=3とおくとp・q^12=3・（2＾12）

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28個の約数の数を持つ数をp^aq^br^c・・・とすると

1+p+・・・+p^27=(p^28-1)/(p-1)

p＝2とおくとp^27=2^27

(1+p)(1+q)(1+r+・・・+q^6)=(p^2-1)/(p-1)・(q^2-1)/(q-1)・(r^7-1)/(q-1)

最小の数はr=2,q=3,p=5とおくとp・q・r^6=5・3・（2＾6）＝480

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34個の約数の数を持つ数をp^aq^br^c・・・とすると

1+p+・・・+p^33=(p^34-1)/(p-1)

p＝2とおくとp^33=2^33

(1+p)(1+q+・・・+q^16)=(p^2-1)/(p-1)・(q^17-1)/(q-1)

最小の数はq=2,p=3とおくとp・q^16=3・（2＾16）

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38個の約数の数を持つ数をp^aq^br^c・・・とすると

(1+p)(1+q+・・・+q^18)=(p^2-1)/(p-1)・(q^19-1)/(q-1)

最小の数はq=2,p=3とおくとp・q^18=3・（2＾18）

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42個の約数の数を持つ数をp^aq^br^c・・・とすると

(1+p)(1+q+q^2)(1+r+・・・+r^6)=(p^2-1)/(p-1)・(q^3-1)/(q-1)・(r^7-1)/(r-1)

最小の数はr=2,q=3,p=5とおくとp・q^2・r^6=5・9・32＝1440

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44個の約数の数を持つ数をp^aq^br^c・・・とすると

(1+p)(1+q)(1+r+・・・+r^10)=(p^2-1)/(p-1)・(q^2-1)/(q-1)・(r^11-1)/(r-1)

最小の数はr=2,q=3,p=5とおくとp・q・r^10=5・3・2^10

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46個の約数の数を持つ数をp^aq^br^c・・・とすると

(1+p)(1+q+・・・+q^22)=(p^2-1)/(p-1)・(q^23-1)/(q-1)

最小の数はq=2,p=3とおくとp・q^22=3・2^22

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50個の約数の数を持つ数をp^aq^br^c・・・とすると

(1+p)(1+q+・・・+q^4)(1+r+・・・+r^4)=(p^2-1)/(p-1)・(q^5-1)/(q-1)・(r^5-1)/(r-1)

最小の数はq=2,p=3とおくとp・q^4・r^4=5・3^4・2^4

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