ｎ角形２枚と２角形ｎ枚よりなるｎ＋２面体を考える。

２角形の内角をθとすると面積は2θ

になる。

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ｎ角形の内角をAとする。

とりあえずｎ＝5とするが、５角形の面積はＳ＝5Ａ−３π

２枚で10Ａ−６π　

２角形の内角はπ-Aであるから、面積は2π-2A

5枚で10π-10Ａ

これではどのようなｎでもどのようなAでも製作可能になるわけであるが、そのような構造は可能なのだろうか？

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ｎ角形の面積はＳ＝ｎＡ−（ｎ-2）π

２枚で2nＡ−2(n-2)π　

２角形の内角はπ-Aであるから、面積は2π-2A

n枚で2nππ-2nＡ

面積の合計は4πとなる。

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試作してみると、ねじれて折れてしまった。

上のn角形に外接する円を(cos（2πi/n),sin（2πi/n),h)

下のn角形に外接する円を(cos（2πi/n+πi/n),sin（2πi/n+πi/n),-h)

外接球をx^2+y^2+z^2=r^2とおくと

1+h^2=r^2

外接球をx^2+y^2+z^2=1+h^2

A(1,0,h)

B(cos(2π/n),sin(2π/n),h)

C (-1,0,-h)

D(-cos(2π/n),-sin(2π/n),-h)

これらの４点がすべて原点を通る平面

x+by+cz=0

1+ch=0,c=-1/h

cos(2π/n)+bsin(2π/n)-1=0

b=[1-cos(2π/n)]/sin(2π/n)=tan(π/n)

平面の方程式x+tan(π/n)y-z/ｈ=0上にある

ベクトルの内積は、AB,CDはおなじで

cosα=[cos(2π/n)+h^2]/[1+h^2]=[cos(2π/n)+r^2-1]/[r^2]

BCはπ−α

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n=3のときα＝π/2を基準とすれば

0＝[r^2-3/2]/[r^2],r^2=3/2

cosα=[2cos(2π/n)+1]/3

n=3のときcosα=0

n=4のときcosα=1/3

n=6のときcosα=2/3

n=3のときα=90度

n=4のときα=70.5288度

n=5のときα=57.361度

n=6のときα=48.1897度

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sin(α/2)=sin(π/n)・√(2/3)

からαを求めるて比較してみたい。

n=3のときα=90度

n=4のときα=70.5288度

n=5のときα=57.361度

n=6のときα=48.1897度

で全く同値であった。

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cosα=[cos(2π/n)+r^2-1]/[r^2]

r^2cosα=[cos(2π/n)+r^2-1]

r^2(cosα-1)=[cos(2π/n)-1]

r^2sin(α/2)^2=sin(π/n)^2

rsin(α/2)=sin(π/n)

式の上でも同値である

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正ｎ角形の１辺の長さを１

２角形の1辺の長さをｋとする式のほうが使いやすいのではないだろうか？

正ｎ角形の１辺の長さ１・・・π/ｋ（ｋ＞1）

２角形の1辺の長さを・・・π

α=π/ｋ

ｒsin(π/2ｋ）＝sin(π/n)

r=sin(π/n) /sin(π/2ｋ）

rsin(α/2)=sin(π/n)に代入してｒを消去

sin(α/2)=sin(π/2ｋ）・・・ｎに関係なく成り立つ

ｋ＝2→ α＝π/2

ｋ＝3→ α＝π/3

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